MIDIファイルを入力とした分析：和音の出現頻度から見たマーラー作品(その3：補遺 2021.6.17更新)

MIDIファイルを入力とした分析の一環として、和音（コード）の出現頻度に基づくマーラーの交響曲作品50ファイル（楽章単位）の他の作品71ファイルとの比較を試みた結果を「MIDIファイルを入力とした分析：和音の出現頻度から見たマーラー作品」（https://gustav-mahler-yojibee.blogspot.com/2020/02/midi.html）として報告し、次いでその第2報として比較対象となる作品数を増やして、マーラーの作品50ファイルに対して、他の作曲家の作品200ファイルの合計250ファイルでの分析結果について「MIDIファイルを入力とした分析：和音の出現頻度から見たマーラー作品（その2：拡張版）」(https://gustav-mahler-yojibee.blogspot.com/2020/02/midi2.html)として報告しました。2つの報告でマーラーの作品の和音の出現分布に一貫した一定の傾向があることが浮かび上がってきたことを受け、それを確認するために非常に簡単ではありますがデータ分析を行ったので、その結果を報告します。　

　今回の分析は手法としては極めてシンプルな単なる集計に過ぎず、むしろ前2回の分析に先立って報告されるべき基礎的なものかも知れませんが、いずれにせよ、前2回の分析結果で浮かび上がってきた特徴の一部を非常にわかりやすい形で示しているように思えましたので、補遺として公開することにしました。（2020.3.8記）

（2021.6.17追記：集計プログラムの制約で、対象作品のMIDIデータの各ファイルに含まれる最初の1591拍分のみが分析対象となっていることがわかりました。各ファイルは概ね交響曲作品の楽章単位であることから、楽章の長さに応じて、全てが対象となっている場合もあれば、前半の1591泊目までが対象となっている場合もあることになります。この点についての記載が漏れていたことにつき、お詫びして追記します。なお、この制約をなくした分析を、今後実施の予定です。仮に両者に違いが確認できるのであれば、それ自体、音楽作品の時系列の構造の特性が反映したものである可能性が考えられます。）

1.対象としたデータ

使用したデータは以下の通りです。

「MIDIファイルを入力とした分析の準備作業：和音の分類とパターンの可視化」（https://gustav-mahler-yojibee.blogspot.com/2020/01/midi2020128.html）で行った和音のラベリング（131種類）の結果について、各和音毎の出現頻度を以下の3つのグループ毎に算出。なお、131種類の和音での被覆率は100%ではありませんが、最終的に上位の20種類を抽出したこともあり、結果への影響はほぼないものと考えます。（例えばマーラーの交響曲のグループについては総数58586に対して概ね1%以上の出現頻度の和音が対象となっており、未分析の和音でそれだけの頻度のものはありません。）

A.マーラーの交響曲（「大地の歌」、第10交響曲クック版を含む全11曲50ファイル）の各拍頭に出現する131種類の和音の出現割合

B.最初の報告で比較対照に用いた作品（71ファイル）
　すなわち以下の作品の各拍頭に出現する131種類の和音の出現割合
　　アイヴズ　答えのない質問
　　シベリウス　交響曲第2番、7番、タピオラ
　　ヴェーベルン　パッサカリア
　　ショスタコーヴィチ　交響曲第10番
　　スクリャービン　交響曲第3番
　　シュニトケ　交響曲第5番＝合奏協奏曲第4番第1楽章
　　ブラームス　交響曲第2番、3番、4番
　　ブルックナー　交響曲第5番、7番、9番
　　フランク　交響曲
　　スメタナ　わが祖国
　　ハイドン　交響曲第104番
　　モーツァルト　交響曲第38番、39番、40番、41番　
　　シューマン　交響曲第3番

C.第2報で比較対照に用いた作品（200ファイル）
　すなわち以下の作品の各拍頭に出現する131種類の和音割合
　　アイヴズ　答えのない質問
　　シベリウス　交響曲第2番、7番、タピオラ、5番3楽章、6番4楽章、3番2楽章
　　ブラームス　交響曲第1番、2番、3番、4番
　　ブルックナー　交響曲第1番、4番、5番、7番、8番、9番
　　ショスタコーヴィチ　交響曲第10番
　　モーツァルト　交響曲第38番、39番、40番、41番　
　　シューマン　交響曲第1番、3番
　　スクリャービン　交響曲第3番

　　スメタナ　わが祖国

　　フランク　交響曲

　　ハイドン　交響曲第83、88、92、96、99～104番
　　シュニトケ　交響曲第5番＝合奏協奏曲第4番第1楽章
　　ヴェーベルン　パッサカリア
　　バルトーク　管弦楽のための協奏曲
　　ベートーヴェン　交響曲第3、4、5、6、7番
　　ベルリオーズ　幻想交響曲
　　ドヴォルザーク　交響曲第8、9番
　　エルガー　交響曲第1、2番
　　メンデルスゾーン　交響曲第3番
　　ワーグナー　パルジファル前奏曲
　　ラフマニノフ　交響曲第2番
　　シューベルト　交響曲第８、9番
　　チャイコフスキー　交響曲第4、5、6番

B,Cについては様々な傾向の作品が含まれていますが、今回の集計では個別の作品の差異は無視されて71ないし200ファイルの全体での出現頻度を基に割合を計算しているので、全体を平均化した割合を比較することになります。

2.集計結果

上記3つのそれぞれについて出現割合の降順に並べて上位20種類を抽出し、グラフ化したものを以下に示します。
グラフの縦軸が出現割合、横軸が和音の種別になります。和音の種別の番号は「MIDIファイルを入力とした分析の準備作業：和音の分類とパターンの可視化」で用いたものと同じですが、「MIDIファイルを入力とした分析：和音の出現頻度から見たマーラー作品」で分析対象としたものを含めて、「MIDIファイルを入力とした分析の準備：調性推定と和音のラべリング」（https://gustav-mahler-yojibee.blogspot.com/2020/01/midi2020128.html）でラベリング対象にした和音について示せば以下の通りです。

　　3 :五度　5 ：長二度　9 ：短三度　17 ：長三度　33 ：短二度　65 ：増四度
　　25 ：短三和音　19 ：長三和音　77 ：属七和音　93 ：属九和音
　　27 ：付加六　69 ：イタリアの増六　73 ：減三和音　273 ：増三和音
　　51 ：長七和音　153 ：トリスタン和音　325 ：フランスの増六　
　　（ここまでが前2回の分析の対象）
　　585 ：減三＋減七　89 ：減三＋短七　275 ：増三＋長七　281 ：短三＋長七

A.マーラーの交響曲（50ファイル、total=58586）

B.比較対象1（71ファイル、total=81576）

C.比較対象2（200ファイル、total=222903）

3.集計結果から読み取れること

・19、25は長三和音、短三和音であり、1は単音であるから、それを除くとマーラーの交響曲で比較グループとの比較において目立つのは、3：完全五度、27：付加六、51：長七和音の和音の割合が高く、77：属七和音の割合が低いことでしょうか。これらは（完全五度については特に言及しませんでしたが）前2回の分析でも傾向として浮かび上がってきた点だと思います。
・73 ：減三和音、585 ：減三＋減七といった比較グループ1,2の平均では第10位までに入っている和音が、マーラーの場合は16位、20位であり、出現頻度が低いことがわかります。このうち585：減三＋減七は前2回の分析対象には含まれていませんでしたが、この和音を追加して分析を行うべきだったかも知れません。
・7や11は前2回の分析対象にも、和音のラベリング対象にも含まれていませんが、マーラー、比較グループのいずれでも20位までには入っています。11の順位には大きな差はありませんが、7はマーラーでは9位を占めており、この和音（いわゆるサスペンションコード）は分析に含めることが考えられます。
・順位は低いですが、マーラーにおいて20位までに出現して、比較グループで出現しないのは29（マーラーで17位、比較グループ1で26位、比較グループ2で24位）、その逆は589（比較グループ1で19位、2で20位、マーラーでは33位）です。
・20位までの和音の被覆率については、マーラーの交響曲では比較グループいずれと比べても7%程度低く、両者に共通の上位の3種（長三和音、短三和音、単音）の被覆もマーラーでは30%程度なのに対し、比較グループは40%程度であり、有意な差がありそうです。ただし比較グループは様々な様式の作品の平均であり、古典的作品と非古典的な作品のバランス等が影響している可能性があるため、この点については比較グループをさらに分割して比較するのが適当に思われます。

和音の種類を追加する、ないし入れ替えて分析を行うことに関して言えば、上で候補となった和音がいずれも全体に占める割合が低いことから、分散が大きくならないため単純に追加しただけでははっきりとした結果が出ないことが予想されますし、そもそも順位差が有意であるかどうかもありますので、統計的に扱うためには検討が必要と思われます。

[ご利用にあたっての注意] 公開するデータは自由に利用頂いて構いません。あくまでも実験的な試みを公開するものであり、作成者は結果の正しさは保証しません。このデータを用いることによって発生する如何なるトラブルに対しても、作成者は責任を負いません。入力として利用させて頂いたMIDIファイルに起因する間違い、分析プログラムの不具合に起因する間違いなど、各種の間違いが含まれる可能性があることをご了承の上、ご利用ください。
（2020.3.8公開）

MIDIファイルを入力とした分析：和音の出現頻度から見たマーラー作品(その2：拡張版 2021.6.17更新)

MIDIファイルを入力とした分析の一環として、和音（コード）の出現頻度に基づくマーラーの作品の他の作品との比較を試みた結果を「MIDIファイルを入力とした分析：和音の出現頻度から見たマーラー作品」（https://gustav-mahler-yojibee.blogspot.com/2020/02/midi.html）として報告しましたが、その第2報として比較対象となる作品数を増やして、マーラーの作品50ファイルに対して、他の作曲家の作品200ファイルの合計250ファイルでの分析結果について報告します。ようやくデータ分析として一般的な規模となったと認識しています。対象となるデータセットを変えれば各分析の結果は当然異なってくるわけですが、その中で共通に見出せる特徴に注目することで、マーラーの作品の特徴の一端を窺うための参考になればと思います。

（2021.6.17追記：集計プログラムの制約で、対象作品のMIDIデータの各ファイルに含まれる最初の1591拍分のみが分析対象となっていることがわかりました。各ファイルは概ね交響曲作品の楽章単位であることから、楽章の長さに応じて、全てが対象となっている場合もあれば、前半の1591泊目までが対象となっている場合もあることになります。この点についての記載が漏れていたことにつき、お詫びして追記します。なお、この制約をなくした分析を、今後実施の予定です。仮に両者に違いが確認できるのであれば、それ自体、音楽作品の時系列の構造の特性が反映したものである可能性が考えられます。）

分析の入力データと結果のデータ・グラフについては、以下からダウンロードできます。（和音出現特徴分析_拡張版.zipという1ファイルにアーカイブされています。）

https://drive.google.com/file/d/1cDlfRKTTFy4F_lCM5Qv0W3YFOgfVWz9b/view?usp=sharing

以下では最初の報告との相違点を中心に記述を行います。分析の概要については前の記事をご覧いただけますようお願いします。(2020.2.24記)

1.対象データ
・マーラーの作品については変更なし。
　　全交響曲のMIDIデータ（楽章毎）、合計50ファイル

・比較対照用の作品：以下の作品のうちマーラー以外の作品のMIDIデータ

　（楽章毎。合計200ファイル）
　作曲家別にラベルをつけて、クラスタ分析結果との照合を行った。
　作曲者数はマーラーを含めて24名。以下、ラベルの番号、作曲者、作品の順に示す。
　なお前回とは異なり、時代区分でカテゴリを分けることは行っていない。
　従ってグラフの色分けと時代区分の対応付けはない。

　　0.アイヴズ　答えのない質問
　　1.シベリウス　交響曲第2番、7番、タピオラ、5番3楽章、6番4楽章、3番2楽章
　　2.マーラー　交響曲第1～10番、大地の歌
　　3.ブラームス　交響曲第1番、2番、3番、4番
　　4.ブルックナー　交響曲第1番、4番、5番、7番、8番、9番
　　5.ショスタコーヴィチ　交響曲第10番
　　6.モーツァルト　交響曲第38番、39番、40番、41番　
　　7.シューマン　交響曲第1番、3番
　　8.スクリャービン　交響曲第3番

　　9.スメタナ　わが祖国

　　10.フランク　交響曲

　　11.ハイドン　交響曲第83、88、92、96、99～104番
　　12.シュニトケ　交響曲第5番＝合奏協奏曲第4番第1楽章
　　13.ヴェーベルン　パッサカリア
　　14.バルトーク　管弦楽のための協奏曲
　　15.ベートーヴェン　交響曲第3、4、5、6、7番
　　16.ベルリオーズ　幻想交響曲
　　17.ドヴォルザーク　交響曲第8、9番
　　18.エルガー　交響曲第1、2番
　　19.メンデルスゾーン　交響曲第3番
　　20.ワーグナー　パルジファル前奏曲
　　21.ラフマニノフ　交響曲第2番
　　22.シューベルト　交響曲第８、9番
　　23.チャイコフスキー　交響曲第4、5、6番

2.分析に用いた特徴量：変更なしで以下の通り。
　単音、重音：完全五度、長二度、短三度、長三度、短二度、増四度
　短三和音、長三和音、属七和音、属九和音、付加六、イタリアの増六
　減三和音、増三和音、長七和音、トリスタン和音、フランスの増六

3.分析手法
　分析はすべてR言語（version.3.6.0, 2018-04-23版）を用いて行った。
　分析履歴をアーカイブに含めた。（hist.txt）
　A.主成分分析：prcompを使用。標準化を行う(scale=TRUE)。
　　説明率80％⇒第10主成分までについて負荷と主成分得点を計算。
　　分析結果はbiplotでグラフ化。負荷と主成分得点はbarplotでグラフ化。
　B.因子分析：factanalを使用。
　　因子数の決定は相関行列の固有値を参照：固有値が概ね1以上⇒6因子と決定
　　rotationはvarimax（直交回転）, promax（斜交回転）の両方を試行。
　　分析結果はbilplotでグラフ化。負荷と因子得点はbarplotでグラフ化。
　C.階層クラスタリング：距離はユークリッド距離を使用し、結果をhclustに与えた。
　　クラスタリング手法としては以下の3種を試行し、結果はデンドログラムでグラフ化。
　　　complete（完全連結法）
　　　average（群平均化法）
　　　wardD2（最小分散法）
　　クラスタの安定度を確認するために、ユークリッド距離・完全連結法での
　　上位の5クラスタのJaccard係数の平均値をfpcパッケージのclusterbootを
　　用いて求めた。（hist.txt）
　　更にマハラノビス距離を用いて最小分散法によるクラスタリングを行った。
　D.非階層クラスタリング：kmeansを使用。
　　クラスタ数はギャップ統計を参考にした。
　　kmax=10、最大イテレーション回数=100でclusGapを使用。
　　結果をbarplotでグラフ化。
　　⇒クラスタ数8で試行した結果をclusplotでグラフ化。
　
4.分析結果の概要
　A.主成分分析

概ね左下側にマーラーの作品が偏っていることから、まず第1主成分がマーラーの作品を特徴づけていると予想されるので、まず第1主成分得点を確認してみると以下の通りであり、左側への偏りに対応したものであることが確認できる。ここでは示さないが、第1主成分以外にも（上記グラフから想像される通り）作品によってばらつきがあるものの第2主成分、更には第5、第7主成分についてもマーラーの作品に関して偏りが見られた。（アーカイブ中には全ての主成分の得点および負荷のグラフが含まれている。）
一方で、マーラー作品の中で、第1主成分得点について例外的という意味で「マーラー的」でない楽章を取り出すことができるだろう。

なお、今回は前回とは異なって、以下のグラフの色分けは時代区分に対応しているわけではない。色と作曲家の対応は、左側から右側へ順番に以下の通りである。

　マーラー（赤）・アイヴズ（黒）・シベリウス（黒）・ブラームス（緑）・
　ブルックナー（白）・ショスタコーヴィチ（黒）・モーツァルト（青）・
　シューマン（水色）・スクリャービン（黒）・スメタナ（紫）・フランク（黄）・
　ハイドン（青）・シュニトケ（赤）・ヴェーベルン（白）・シベリウス（黒）・
　バルトーク（灰色）・ベートーヴェン（青）・ベルリオーズ（水色）・
　ブラームス（緑）・ブルックナー（白）・ドヴォルザーク（緑）・エルガー（紫）・
　ハイドン（青）・メンデルスゾーン（緑）・ワグナー（水色）・
　ラフマニノフ（黒）・シューベルト（青）・シューマン（水色）・シベリウス（黒）・
　ハイドン（青） ・チャイコフスキー（紫）

第1主成分の負荷は以下の通り。得点がマイナスなので、付加六、長七、属九、増三、トリスタン和音、フランスの増六などの頻度が高く、単音、三度、長三和音、属七、減三などの頻度が低いという傾向があることになる。

B.因子分析
まず、相関行列の固有値をとると以下のようになる。固有値が概ね1以上であることやグラフの傾きから、因子数を6とする。

因子分析の結果でも因子数＝6で十分との判定が得られた。rotation=promaxの結果を以下に示す。右側にマーラーの作品が偏って分布していることが窺えることから第1因子がマーラーの作品の特徴づけの和音の出現分布上での主要な因子であることが示唆される。（アーカイブ中にはvarimaxの結果も収められている）。

そこで第1因子得点を確認してみる。左の赤いバーがマーラーの作品の棒グラフであり、若干の例外はあるものの、明らかな偏りが見られ、それが上記のbiplotの分布の偏りに対応していることがわかる。
 

第1因子負荷を確認すると以下の通り。付加六、長七、増三、属九、フランスの増六がプラスであることなど、主成分分析の結果や前回報告の結果と同様の傾向を示していることがわかる。

数値を確認したところ第3因子もマーラーの作品に共通の特徴が表れているように思えたので、以下に掲げる。まずは因子得点から。左隅の赤いバーがマーラーの作品群に対応しているが、一部を除いてマイナス方向に偏っていることがわかる。
 

第3因子負荷は以下の通りで、属七に特徴のある因子だが、上に示したようにマーラーの作品は因子得点がマイナスなので属七の割合が少ないことがわかる。これもまた前回得られた結果と共通の傾向である。

C.階層クラスタ分析
距離はユークリッド距離のみ。クラスタリング手法としてhclustでデフォルトのcompleteを使った結果は以下の通り。他の作品の数が増えたので、ややわかりにくくなったが、大きく古典派系と非古典派系に分かれ、マーラー作品の多くは後者に属する傾向は前回と共通している。

上記の結果に対して、クラスタの安定性を確認するために、fpcパッケージのclusterbootを用いてJaccard係数の平均値を求めた結果を履歴ファイルに収めている。全般に不安定だが、マーラーの作品が属する上位のクラスタについては相対的に安定しているようである。
更に距離をマハラノビス距離に変え、ward法によってクラスタリングした結果を以下に示す。
なお必ずしもこの結果に限定されないが、マーラーの作品の中で、マーラー作品の多くが属するクラスタではない別のクラスタに属する楽章を見てみると、主成分分析や因子分析における「非マーラー」的な楽章と概ね一致する傾向があることを確認できる。

D.非階層クラスタ分析

clusGapを用いてGap統計をとった結果（アーカイブ中のhist.txt参照）はクラスタ数2で安定だが、それ以上のクラスタ数については試行の度に結果が異なり安定しない。しかしクラスタ2については既に前の報告で示したので、ここではGap統計で再度結果が安定しはじめる8クラスタの結果を示す。ただしkmeans法はその手法そのものがランダムネスを含んでいるので、同じデータでも試行の都度データの細部は変化しうるので、以下はあくまでもおおまかな傾向を知るための参考程度に過ぎない。

作曲家毎のクラスタへの所属は以下の通りとなっている。行方向が作曲家のラベル、列方向がクラスタ番号であり、行：2がマーラーで第1、4クラスタに集中していることが読み取れる。一方で第2、３、５、６あたりが古典派のクラスタのようであり、マーラーの作品とは相補的な分布となっている。マーラー以外の作曲家は作品数が限定されているので、偶然そういう作品が選ばれたということもあるものの、概ね時代区分に沿った分布の傾向が読み取れる。

    res
class  1   2   3   4   5   6   7   8
   0    0   0   0   0   1   0   0   0　アイヴズ
   1    3   0   0   2   1   0   2   0　シベリウス
   2  21   1   0  20  3   0   4   1　マーラー
   3    1   1   5   0   5   0   4   0　ブラームス
   4    4   1   1   7   9   0   1   0　ブルックナー
   5    1   0   2   3   0   1   1   0　ショスタコーヴィチ
   6    0   5   7   1   0   0   1   1　モーツァルト
   7    0   0   3   0   1   0   1   0　シューマン
   8    2   0   0   0   1   0   0   0　スクリャービン
   9    0   0   1   1   4   0   0   0　スメタナ
   10  2   0   0   1   0   0   0   0　フランク
   11  0  20  11 2   2   5   0   0　ハイドン
   12  0   0   0   1   0   0   0   0　シュニトケ
   13  1   0   0   0   0   0   0   0　ヴェーベルン
   14  2   0   0   2   0   1   0   0　バルトーク
   15  0   7   2   1   2   3   3   0　ベートーヴェン
   16  0   0   1   2   1   1   0   0　ベルリオーズ
   17  0   0   0   0   3   0   4   1　ドヴォルザーク
   18  5   0   0   0   0   0   2   0　エルガー
   19  1   0   0   0   0   0   2   1　メンデルスゾーン
   20  0   0   0   0   0   0   1   0　ワグナー
   21  3   0   0   1   0   0   0   0　ラフマニノフ
   22  0   0   3   0   0   0   3   0　シューベルト
   23  6   0   0   3   0   2   1   0　チャイコフスキー

5.アーカイブファイルに含まれるファイルの説明
和音出現特徴分析_拡張版.zipの中には以下のファイルが含まれます。

(1)入力データ
　cfreqA.csv：分析対象の和音（コード）の出現割合のファイル
　col_cfreqA.csv：対象作品のbarplotにおける色指定。（時代区分には対応しない。）
　class_cfreqA.csv：対象作品を作曲家別に分類したファイル
　corresp_cfreqA.csv：生の頻度情報ファイル。cfreqAに含まれないコードも含む

(2)主成分分析系
　prcomp.pdf：主成分分析結果のbiplotグラフ
　pr_score-[1-10].pdf：主成分得点のbarplotグラフ
　prcomp_PC[1-10].pdf：主成分負荷量のbarplotグラフ

(3)因子分析系
　(3-1)直交回転(varimax)：因子数=6
　　varicomp.pdf：因子分析結果のbiplotグラフ
　　vari_score-[1-6].pdf：因子得点のbarplotグラフ
　　vari_load-[1-6].pdf：因子負荷量のbarplotグラフ
　(3-2)斜交回転(promax)：因子数=6
　　procomp.pdf：因子分析結果のbiplotグラフ
　　pro_score-[1-6].pdf：因子得点のbarplotグラフ
　　pro_load-[1-6].pdf：因子負荷量のbarplotグラフ
　(3-3)相関行列の固有値
 　　eigen.pdf

(4)階層クラスタ分析系
　(4-1)ユークリッド距離によるクラスタリング結果
　　hclust_complete.pdf：完全連結法による結果のデンドログラム
　　hclust_average.pdf：群平均化法による結果のデンドログラム
　　hclust_wardD2.pdf：Ward法（最小分散法）による結果のデンドログラム
　(4-2)マハラノビス距離によるクラスタリング結果

　　hclust_Mahalanobis_ward.D2.pdf：Ward法による結果のデンドログラム

　(4-3)クラスタの安定性評価に用いた条件（解析結果はhist.txtに収録）
　　hclust_complete_rect5.pdf：ユークリッド距離・完全連結法で5クラスタまでを評価

(5)非階層クラスタ分析系：
　(5-1)ギャップ統計
　　clusGap.pdf
　(5-2)クラスタリング結果
　　kmeans8.pdf：8クラスタでの分類結果のプロット
　　kmeans8.csv：8クラスタでの分類結果
　　kmeans8.xls：8クラスタでの分類結果と対象作品のクラス分けの対照用

(6)分析履歴
　　hist.txt：R言語を用いた分析履歴。各分析の数値的な結果を含む。

[ご利用にあたっての注意] 公開するデータは自由に利用頂いて構いません。あくまでも実験的な試みを公開するものであり、作成者は結果の正しさは保証しません。このデータを用いることによって発生する如何なるトラブルに対しても、作成者は責任を負いません。入力として利用させて頂いたMIDIファイルに起因する間違い、分析プログラムの不具合に起因する間違いなど、各種の間違いが含まれる可能性があることをご了承の上、ご利用ください。
（2020.2.24公開、25データを追加、26一部データ差替・加筆）

MIDIファイルを入力とした分析：和音の出現頻度から見たマーラー作品(2021.6.17更新)

MIDIファイルを入力とした分析の一環として、和音（コード）の出現頻度に基づくマーラーの作品の他の作品との比較を試みたので、その結果を以下に報告します。分析の単位は楽章毎（単一楽章の場合には曲毎）で、各拍の和音（コード）をラベリングした結果（「MIDIファイルを入力とした分析の準備：調性推定と和音のラべリング」https://gustav-mahler-yojibee.blogspot.com/2020/01/midi2020128.html参照）に基づき、単音を含む18種類のコードの出現頻度をとって対象の楽章（ないし曲）の全拍のうち占める割合を計算したものを分析対象としました。

（2021.6.17追記：集計プログラムの制約で、対象作品のMIDIデータの各ファイルに含まれる最初の1591拍分のみが分析対象となっていることがわかりました。各ファイルは概ね交響曲作品の楽章単位であることから、楽章の長さに応じて、全てが対象となっている場合もあれば、前半の1591泊目までが対象となっている場合もあることになります。この点についての記載が漏れていたことにつき、お詫びして追記します。なお、この制約をなくした分析を、今後実施の予定です。仮に両者に違いが確認できるのであれば、それ自体、音楽作品の時系列の構造の特性が反映したものである可能性が考えられます。）

分析やグラフの作成はR言語を用いて行い、階層・非階層のクラスタ分析、主成分分析、因子分析を行いました。分析の入力データと結果のデータ・グラフについては、以下からダウンロードできます。（和音出現特徴分析.zipという1ファイルにアーカイブされています。）

https://drive.google.com/file/d/1fbLw8kq0R8e5psjYcOtQoUXwFVrTxEDD/view?usp=sharing

以下では、分析の概要と上記のアーカイブファイルに含まれる各ファイルとの対応づけを記述します。

このような和音の出現頻度に関する量的分析は音楽情報処理分野ではありふれたものであると思います。このブログで以前言及したものでは、Tonal Theory for the Digital Age, Computing inMusicology 15 (2007-08)には、Eva Ferkova et al., Chordal Evaluation in MIDI-Based Harmonic Analysis: Mozart, Schubert, and Brahms があり、その中で報告された分析の一部として、和音のラベリングと頻度の分析が含まれますが、マーラーの作品について同様の分析が行われたことがあるかどうかは寡聞にして知りません。もしご存じの方がいらっしゃればご教示頂ければ幸いです。

いずれにせよ、時系列に添ったプロセスである音楽に対して、このように静的かつ巨視的な情報に基づく量的・統計的分析が語ることがごく限られていることは言うまでもなく明らかなことと思われます。また、以下の結果は分析の手始めに過ぎず、この結果に基づいて更に分析を行っていく必要があり、実際にその後若干の追加の実験も行っていますが、これまで多くの優れた分析者が直観的に把握してきたマーラーの作品の特性のうちのごく僅かな部分であっても、データに基づく検証が行われることには一定の意味があるものと考え、ささやかなものではありますが、まずは最初の分析結果を公開する次第です。(2020.2.23記)

1.対象データ
・マーラーの作品：重心計算や調性推定で用いた全交響曲のMIDIデータ（楽章毎）
　　合計50ファイル⇒カテゴリ２

・比較対照用の作品：以下の作品のMIDIデータ（楽章毎。合計71ファイル）
　便宜的に4つのカテゴリに分類し、クラスタ分析結果との照合を行った。

　カテゴリ１：近現代の作品
　　アイヴズ　答えのない質問
　　シベリウス　交響曲第2番、7番、タピオラ
　　ヴェーベルン　パッサカリア
　　ショスタコーヴィチ　交響曲第10番
　　スクリャービン　交響曲第3番
　　シュニトケ　交響曲第5番＝合奏協奏曲第4番第1楽章
　カテゴリ３：ロマン派
　　ブラームス　交響曲第2番、3番、4番
　　ブルックナー　交響曲第5番、7番、9番
　　フランク　交響曲
　　スメタナ　わが祖国
　カテゴリ４：古典派
　　ハイドン　交響曲第104番
　　モーツァルト　交響曲第38番、39番、40番、41番　
　カテゴリ５：前期ロマン派
　　シューマン　交響曲第3番

2.分析に用いた特徴量：上記MIDIデータの各拍毎の以下の和音（コード）の出現割合

　単音、重音：完全五度、長二度、短三度、長三度、短二度、増四度
　短三和音、長三和音、属七和音、属九和音、付加六、イタリアの増六
　減三和音、増三和音、長七和音、トリスタン和音、フランスの増六

3.分析手法
　分析はすべてR言語（version.3.6.2, 2019-12-12版）を用いて行った。
　分析履歴をアーカイブに含めた。（hist.txt）
　A.主成分分析：prcompを使用。標準化を行う(scale=TRUE)。
　　説明率80％⇒第9主成分までについて負荷と主成分得点を計算。
　　分析結果はbiplotでグラフ化。負荷と主成分得点はbarplotでグラフ化。
　B.因子分析：factanalを使用。
　　因子数の決定は相関行列の固有値を参照：固有値が概ね1以上⇒5因子と決定
　　rotationはvarimax（直交回転）, promax（斜交回転）の両方を試行。
　　分析結果はbilplotでグラフ化。負荷と因子得点はbarplotでグラフ化。
　C.階層クラスタリング：距離はユークリッド距離を使用し、結果をhclustに与えた。
　　クラスタリング手法としては以下の3種を試行し、結果はデンドログラムでグラフ化。
　　　complete（完全連結法）
　　　average（群平均化法）
　　　wardD2（最小分散法）　
　　クラスタの安定度を確認するために、ユークリッド距離・完全連結法での
　　上記の2クラスタのJaccard係数の平均値をfpcパッケージのclusterbootを
　　用いて求めた。（hist.txt）
　　更にマハラノビス距離を用いて最小分散法によるクラスタリングを行った。
　D.非階層クラスタリング：kmeansを使用。
　　クラスタ数はギャップ統計を参考にした。
　　kmax=10、最大イテレーション回数=200でclusGapを使用。
　　結果をbarplotでグラフ化。
　　⇒クラスタ数2で試行した結果をclusplotでグラフ化。
　
4.分析結果の概要
　A.主成分分析
第9因子までのCumulative Proportionは0.81455（詳細はhist.txt中のsummary参照）
主成分得点のうち、マーラー作品を特徴づけるものと考えられるのは第2主成分であり、上記グラフでは、中心から下側にマーラーの作品が偏って分布する様子が読み取れる。

以下に第2主成分得点のbarplotを示す（赤がクラスタ2＝マーラーの作品。クラスタ１（近現代）＝黒、クラスタ3（ロマン派）＝緑、クラスタ4（古典派）＝青、クラスタ5（前期ロマン派）＝水色）。緑色でマーラーと同じ傾向なのはブルックナーの第5交響曲と第9交響曲。近現代では、ショスタコーヴィチとシュニトケが同傾向で、楽章によってはマーラーより強く傾向が出ている。
なお、ここからマーラー作品の中で第2主成分得点について例外的という意味で「マーラー的」でない、むしろ古典派的な楽章を取り出すことができるだろう。

第2主成分の負荷は以下の通り。主三和音・属七和音の比率が高く、長三度を除く重音の比率が低い成分だが、マーラーの作品は得点がマイナスなので、主三和音・属七和音の比率が低く・長三度を除く重音比率が高い傾向にあると言えそう。

B.因子分析
まず、相関行列の固有値をとると以下のようになる。固有値が概ね1以上であることやグラフの傾きから、因子数を5とする。

因子分析の結果でも因子数＝5で十分との判定が得られた。rotation=varimaxの結果を以下に示す。中心から右下側にマーラーの作品が固まっている様子が読み取れる。なおpromaxでも大まかな傾向は同様（アーカイブ中には両方の結果が収められている）。

因子得点を確認すると、マーラーの作品を特徴づける因子は、以下に示す第2因子と思われる。

第2因子の負荷は以下の通りであり、特に属七和音比率高・付加六和音および長七和音比率低の因子だが、マーラーの作品は得点が低いため、属七和音比率が低く、付加六・長七和音比率が高い傾向があることを示していると考えられる。近現代で同傾向なのはスクリャービンの第3交響曲。

C.階層クラスタ分析
距離はユークリッド距離のみ。クラスタリング手法としてhclustでデフォルトのcompleteを使った結果は以下の通り。大きく古典派系と非古典派系に分かれ、マーラー作品の多くは後者に属することが読み取れる。

なお、クラスタの安定性が低そうなことが実験結果から窺えたため、fpcパッケージのclusterbootを用いてJaccard係数の平均値を求めた結果を履歴ファイルに収めている。マーラーの作品が含まれる上位のクラスタについては比較的安定しているという結果になっている。
更に距離をユークリッド距離からマハラノビス距離に変えてward法を用いた結果を参考までに以下に示す。
なお必ずしもこの結果に限定されないが、マーラーの作品の中、マーラー作品の多くが属するクラスタではない、別のクラスタに属する楽章を見てみると、主成分分析や因子分析における「非マーラー」的な楽章と概ね一致する傾向があることを確認できる。

D.非階層クラスタ分析
適当なクラスタ数を検討するためにclusGapを用いてGap統計をとったが、結果が安定しないため（アーカイブ中のhist.txt参照）、安定して同じ結果が得られる2クラスタの結果のみを示すことにした。k-means法は手法上ランダムネスが含まれるので、試行毎に解が変わりうるが、何度か試行した限りでは2クラスタの場合には同一の結果が得られるようである。他の手法の結果と照合して評価をする必要があるが、大まかな傾向―すなわちここでは、マーラーの作品の多くが非古典的なクラスタ（以下の結果では第2クラスタ）に分類される傾向にあること―は、主成分分析や因子分析、或いは階層クラスタ分析の結果によっても同様の傾向が得られているのであって、安定したものであると言えるだろう。

事前に用意した5つの区分（1：近現代、2：マーラー、3：ロマン派、4：古典派、5：前期ロマン派）と上記のクラスタリングの結果との照合結果は以下の通り。なお、個別の作品がどのクラスタに属するかについては、アーカイブ中のhist.txtを参照のこと。

  res
ans   1   2
  1    4  10
  2    6  44
  3  19  14
  4  18    1
  5    4    1


5.アーカイブファイルに含まれるファイルの説明
和音出現特徴分析.zipの中には以下のファイルが含まれます。

(1)入力データ
　cfreqA.csv：分析対象の和音（コード）の出現割合のファイル
　col_cfreqA.csv：対象作品のクラス分けを定義したファイル（色指定も兼ねる）
　（1：近現代、2：マーラー、3：ロマン派、4：古典派、5：前期ロマン派）
　class_cfreqA.csv：対象作品を作曲家別に分類したファイル
　corresp_cfreqA.csv：生の頻度情報ファイル。cfreqAに含まれないコードも含む

(2)主成分分析系
　prcomp.pdf：主成分分析結果のbiplotグラフ
　pr_score-[1-9].pdf：主成分得点のbarplotグラフ
　prcomp_PC[1-9].pdf：主成分負荷量のbarplotグラフ

(3)因子分析系
　(3-1)直交回転(varimax)：因子数=5
　　varicomp5.pdf：因子分析結果のbiplotグラフ
　　vari_score-[1-5].pdf：因子得点のbarplotグラフ
　　vari_load-[1-5].pdf：因子負荷量のbarplotグラフ
　(3-2)斜交回転(promax)：因子数=5
　　procomp5.pdf：因子分析結果のbiplotグラフ
　　pro_score-[1-5].pdf：因子得点のbarplotグラフ
　　pro_load-[1-5].pdf：因子負荷量のbarplotグラフ
　(3-3)相関行列の固有値
 　　eigen.pdf

(4)階層クラスタ分析系
　(4-1)ユークリッド距離を用いたクラスタリング結果
　　hclust_complete.pdf：完全連結法による結果のデンドログラム
　　hclust_average.pdf：群平均化法による結果のデンドログラム
　　hclust_wardD2.pdf：Ward法（最小分散法）による結果のデンドログラム
　(4-2)マハラノビス距離を用いたクラスタリング結果
　　hclust_hclust_Mahalanobis_ward.D2.pdf：Ward法による結果のデンドログラム
　(4-3)クラスタの安定度解析で用いた条件（解析結果はhist.txtに収録）
　　hclust_complete_rect2.pdf：ユークリッド距離・完全連結法で2クラスタまでを評価

(5)非階層クラスタ分析系：
　(5-1)ギャップ統計
　　clusGap.pdf
　(5-2)クラスタリング結果
　　kmeans2.pdf：2クラスタでの分類結果のプロット
　　kmeans2.csv：2クラスタでの分類結果
　　kmeans.xls：2クラスタでの分類結果と対象作品のクラス分けの対照用

(6)分析履歴
　　hist.txt：R言語を用いた分析履歴。各分析の数値的な結果を含む。

[ご利用にあたっての注意] 公開するデータは自由に利用頂いて構いません。あくまでも実験的な試みを公開するものであり、作成者は結果の正しさは保証しません。このデータを用いることによって発生する如何なるトラブルに対しても、作成者は責任を負いません。入力として利用させて頂いたMIDIファイルに起因する間違い、分析プログラムの不具合に起因する間違いなど、各種の間違いが含まれる可能性があることをご了承の上、ご利用ください。
（2020.2.23公開, 24一部加筆修正, 25結果データを追加, 26非階層クラスタ分析の結果を差し替え）

アメリカの消防士のゴング？：第10交響曲についてのアドルノの言及を巡って（2020.1.28更新）

　アドルノの『マーラー』の最後の章「長きまなざし」の中に、第10交響曲の「プルガトリオ（煉獄）」末尾のゴング（タムタム）に関する言及があるのだが、以前この部分を読んだ時に、「おやっ」と思って記したメモが残っている（実はメモのままこのブログの記事として公開状態にある）。もともとが雑多な覚えの末尾に、その直前のメモの主題とは全く別に、おまけのようにそのことを書き記したこと自体、実は半ば忘却の彼方に去っていたのだが、どなたかがその「メモ」を読んで下さったお蔭で思い出したので、感謝の気持ちを籠めて、些事ではあるけれど備忘としてここで取りあげて置くことにする。

　問題のアドルノの文章は以下の通りである。

(...) Diesem könnte die Geschichte von dem Tamtamschlag des Feuerwehrmanns in Amerika entlehnt sein, der Mahler einen traumatischen Schock versetzt haben soll und der wohl am Ende des »Purgatorio«-Fragments aus der Zehnten Symphonien wiederkehrt;  (...)

(…)マーラーに精神的外傷（トラウマ：原文ルビ）のようなショックを与え、第十交響曲の「プルガトリオ」断片の最後に再び出てくる、アメリカの消防士のゴング（タムタム）の音はカフカから引きついだのかもしれない。（…） 

Taschenbuch版全集第13巻pp.291-292, 龍村訳 pp.191～192

前後を読むと、ここではカフカについて論じられているのだが、私が気になったのはその本来の論旨から言えば、どちらかといえば些末な事実に関することであった。アルマの『回想と手紙』の読者であれば、否、そうでなくても、第10交響曲についての作品解説の類でも良く参照されるので、それを通じて知っている人も多いだろうが、アルマの『回想』の中にアドルノが言及しているエピソードが出て来はしても、それは厳密に言えば、アドルノが述べている通りではないのである。

　アドルノのモノグラフの全訳としては2つ目の訳業ということになる龍村訳にはかなり豊富な訳注がつけられており、ここの部分にも訳注が付けられているので、それを参照した読み手は、もう一度「おやっ」と思うことになる。そこでは

「アルマ・マーラーによると、第十交響曲の葬送のゴング（タムタム）は、ニューヨークで夫妻がホテルの窓から見た、殉死した消防士の葬儀の印象に由来しているという。」（龍村訳　訳注（VIII　長きまなざし）*8 p.259）

と述べられており、ミッチェル版の『回想』の対応箇所のページ数が記されているのである。つまりこの訳注では、恰もアドルノの言及の通りにアルマが回想で述べているかのように書かれている。

　ところが知っている人は知っている通り、この訳注は事実に反しているのだ。アルマの『回想と手紙』を確認してみることにしよう。私は、酒田健一訳の1973年に白水社から出版された旧版を子供の頃に入手して以来ずっと手元に置いて参照してきたので、それを引用することとさせて頂きたい。それは「新世界 1907-1908年」の章に出て来る、以下のパラグラフのことに違いない。

「若い美術工芸学校の生徒のマリー・ウヒャーティウスが、ある日マジェスティック・ホテルに私をたずねてきた。話しこんでいるうちに、私たちはふと聞き耳を立てた。セントラルパーク沿いの大通りが騒がしい。窓からのり出して見ると、下は黒山のような人だかりがしている。葬式だった―行列が近づいてくる。そういえば新聞に、消防士が一人火事で殉職したという記事が出ていた。行列がとまった。代表者が前に進み出て、短い挨拶をした。私たちのいる十二階からでは、なにかしゃべっているらしいとわかっても、声までは聞こえてこない。挨拶のあとちょっと間をおいてから、おおいをかぶせた太鼓が一つ鳴った。あたりは水を打ったように静まり返り、やがて行列は動き出し、式は終わった。
　この風変わりな葬儀を見ているうちに、私の目には涙があふれてきた。おそるおそるマーラーの部屋の窓のほうをうかがうと、彼も身をのり出していて、その顔は泣きぬれていた。このときの光景は彼によほど深い感銘を与えたとみえて、のちに彼はあの短い太鼓の響きを『第10交響曲』のなかで使っている。」（アルマ・マーラー『グスタフ・マーラー　回想と手紙』,　酒田健一訳, pp.155～156）

このくだりを読んだ人は、まず間違いなく、アルマが参照しているのは、第10交響曲の第4楽章のスケルツォの末尾、第5楽章のフィナーレの冒頭に鳴る、あの忘れ難い大太鼓の一撃であると考えることであろう。勿論、アルマは明確にそこの部分だと指示しているわけではないけれど、それにしても、「おおいをかぶせた太鼓が一つ鳴った。」とあって、それがゴング（タムタム）ではないことは間違いない。念のため対応の箇所の原文をあたっても 、

Die junge Kunstgewerbeschülerin Marie Uchatius war einst bei mir in Hotel Majestic. Wir wurden aufmerksam. Auf der breiten Straße, entlang des Centralparks, Getümmel und Lärm. Wir lehnen uns aus dem Fenster, unten eine große Menschenmenge. Ein Leichenbegängnis ― der Kondukt naht. Jetzt wissen wir auch aus unsern Zeitungskenntnissen, es war ein Feuerwehrmann, der bei einem Brand den Opfertod fand. Der Zug steht. Der Obmann tritt vor, hält eine kurze Ansprache, wir ahnen im 11. Stock mehr als wir hören, daß gesprochen wird. Kurze Pause, dann ein Schlag auf die verdeckte Trommel. Lautloses Stillstehen ― dann Weitergehen. Ende.Diese seltsame Totenfeier preßte uns die Tränen aus den Augen. Ich sah ängstlich zu Mahlers Fenster hin, aber da hing auch er weit hinaus, und sein Gesicht war tränenüberströmt. Die Szene hatte einen solchen Eindruck auf ihn gemacht, daß er diesen kurzen Trommelschlag in der Zehnten Symphonie verwendet hat.（酒田訳がそれに基づいている1949年版原書（アンシュルス後、第二次世界大戦中の1940年に出版された初版の、戦後出版された再版）ではp.170、現在入手しやすいと思われるFischerから出ている『回想』部分のみのTaschenbuch版ではp.163）

となっていて、やはりゴング（タムタム）ではないのである。いやこういうのは私だけではない。というよりも私がほとんど反射的に「おやっ」と思ったのは以下の理由による。
　
　これも上記の『回想と手紙』と並んで、子供の頃からの伴侶であった2冊のうちのもう1冊であるマイケル・ケネディの『グスタフ・マーラー』(中河原理訳、芸術現代社、1978年)は、著者がデリック・クックの知己であることもあって、第10交響曲に関する正確でかなり詳細な情報を含んでいるのが一つの特徴となっているが、その第5楽章の紹介のくだりは以下のようになっていて、この件を記憶した子供であった私の中では、アルマの回想が第4楽章のスケルツォの末尾、第5楽章のフィナーレの冒頭に鳴るバスドラムと関連していることは「事実」も同然であったわけなのである。

「これが何を意味するか、君だけが知っている」とマーラーはアルマにあてて、このスコアに書いている。マーラーはふたりがはじめてニューヨークに行ったとき（1907年12月から翌年4月まで）の出来事に触れているのである。このときはセントラルパークを見おろすホテル・マジェスティックに泊った。英雄的な死をとげた消防士の葬列が窓の下にとまった。歩き始めるまえに、覆いをつけた太鼓が短く鳴った。感じやすいマーラーはこれを眺め、涙がほほを伝った。その太鼓がこの終曲を開始し、ニ短調を保ってゆく。（…）
マイケル・ケネディ『グスタフ・マーラー』(中河原理訳、芸術現代社、1978年、p.233)

アドルノの側について言えば、彼自身は、例によってこういう側面の参照に関してはその典拠についての注をつけていないので、確実にアルマの回想の上掲のエピソードを参照しているという証拠があるわけではないとはいうものの、他にこれに替るドキュメントがあるものか、寡聞にして知らない。もしアドルノが言及している通りの、ゴングが鳴り響くアメリカの消防士に関するエピソードというのが別にどこかにあるのをご存知であれば、是非ご教示頂きたくお願いする次第である。

　ちなみにこの第10交響曲がマーラーの早すぎる晩年に訪れた、一般的には家庭内の不和ということになるであろう出来事に関わることは良く知られている。ケネディの評伝は伝記と作品解説の2部に分かれるが、そのいずれにおいてもこの点について、しばしばアルマに対して批判的なトーンを交えて言及している。私見では、それは全く正当な態度だと思われるが、その一方で私が第10交響曲を聴きながら最近感じるのはそれとは別のことである。作品とその作品を産み出す背景となった伝記的事実とは一先ず区別して考えるべきであり、私のそれは寧ろマーラーその人の経験の側についての思いに過ぎないのだが、マーラーのような性格の人は、この時期に、自分が気付かずに、時として無意識に、或る時にはもしかしたら良かれと思ってやった数々のことが、他人にとっては迷惑な、不快ですらあることに思い至らなかったことについての果てしない慙愧の念を感じていたに違いないということだ。誤解のないように繰り返して言うが、第10交響曲がその慙愧の念を表現していると感じたということではない。それとはいっそ無関係に、だが、背後にそうした悔悟の念、自分が意図せず独善的でしかなく、他人にとっては迷惑な存在であったこと、自分がどんなに願ったとしても、他人のために何かをすることにおいて、自分が不十分な存在であり、常にではなくても、最終的には力及ばないこと、そしてその時に気付いた時には最早手遅れであって、自分がやってしまったことについては最早取り返しがつかないのだという認識、或る意味ではあまりに平凡で取るに足らないと言われもしよう認識に直面したときの絶望感というものが潜んでいるような感じがしたということに過ぎない。そしてそのことをふと、上記のエピソードを引用しつつ思っただけではあるのだが、こと私個人に関しては、こうした「人間的な、あまりに人間的な」地平がマーラーへの共感の背景となっていることが否定しがたいことのように思われること、そして一見無関係に見えたとしても、アドルノの了解との隔たり（とはいえそれは対称なものでは全くなく、こちら側はごく私的な感じ方の根拠に過ぎず、何ら一般性な価値を有するものではないのだ）が、もしかしたらこの辺りに存するかも知れないと感じたこともあり、敢てここに追記しておくことにしたい。

　アドルノが第10交響曲の補筆に対して否定的な見解であったことは、龍村訳に収められているモノグラフ第2版へのあとがきからも窺えるが、これまた周到にも龍村訳の訳注で言及されている通り、»Fragment als Graphik«というタイトルの論考を後に書いてもいて、実はそこでももう一度、第3楽章について言及しているところで、

(...), obwohl der berühmte Tamtamschlag am Ende, den Alma Mahler mit einer biographischen Episode in Zusammenhang brachte, immerhin auf eine inkommensurable musikalische Situation deutet. (Taschenbuch版全集第18巻, Musikalische Schriften V, p.252) 

(…)、とはいえ、アルマ・マーラーが伝記上のエピソードに関連付けた末尾のタムタムの一撃は、少なくとも計り知れぬ音楽的状況を示している。（引用者による試訳） 

と記しているのであって、少なくともアドルノ自身の中では一貫した主張だったようである。上掲の»Fragment als Graphik«は1969年の日付を持つ文章のようだが、これはまさにアドルノの没年にあたっているから、アドルノが生前一貫して持ち続けていた信念だったと言って良いだろう。

　ここからは私の想像になるが、アドルノは既に戦前の1924年に出版されていたファクシミリには当然目を通していただろうし、同じ1924年秋の演奏も、或いは聴いていたかも知れない。また1951年に出版された所謂クシェネク＝ヨークル版（これには第1楽章と第3楽章が収められている）も知っていたに違いないけれど、第4楽章・第5楽章の草稿を精査したことはなかったのではなかろうか。

　一方、クック版の補筆作業とその成果に基づく演奏については、演奏こそ、ゴルトシュミット指揮によるクック第1稿の放送初演が1960年12月19日にBBC放送であり、 クック第2稿の初演は1964年8月13日、ロンドンにおいてであるが（なお、いずれについても今やＣＤで聴くことができる）、これらを補筆に対して否定的であったアドルノが聴いたことがあったかどうか？更にクック版の楽譜としての出版はアドルノの没後の1976年まで待たなくてはならないのである。アドルノが、同じシェーンベルクのサークルのメンバーであったクシェネクや自分の作曲上の師であったベルク、シェーンベルクの師であったツェムリンスキーが関わった1924年版の作業は勿論として、その後のクックによる補筆の動きを知っていたことは、モノグラフ第2版へのあとがきから状況的には疑いないが、実証的な観点からすれば、わざわざ大太鼓が打ち鳴らされる箇所が別にあるのを知った上で尚、第3楽章末尾のゴングの一撃とアルマの回想のエピソードを結びつけるとも思えない。というわけで、アドルノが第4楽章のスケルツォの末尾、第5楽章のフィナーレの冒頭に鳴る大太鼓の一撃を知らなかったのではという見解に傾くのである。尤も、アドルノは必ずしも実証を重んじるタイプではなかったかも知れず、従ってこれ以上についてはアドルノを研究されている専門の研究者の判断を俟つしかなく、素人の憶測は慎むこととしたい。

　だが、斯く云う私も、上記のことに気付いた時にさえ、アドルノの主張の本筋の是非については別の問題であると思っていたし、その点の認識については基本的には現時点でも変わりはない。第10交響曲の「ゴング」と消防士に関する事実がどうであれ、「プルガトリオ」を閉じるゴングは、「プルガトリオ」が典拠としている歌曲『この世の営み』や歌曲『魚に説教するパドヴァの聖アントニウス』に基づく第2交響曲第3楽章の末尾同様、死後の世界への到着を告げる（『この世の営み』については歌詞の物語る通りだし、「プルガトリオ」の後には「悪魔が私と踊る」第4楽章が続き、第2交響曲第3楽章の後には、あの歌曲『原光』そのものである第4楽章が続く）ものではあるだろうから、アドルノの指摘それ自体は問題なく、誤っているのは消防隊の連想と、事実関係の誤認の点のみに限定されるだろう。

　いや正確に言えば、「プルガトリオ（煉獄）」とはこの世の営みの終焉とと天国への到着との間にあるのだから、死後の世界への到着を告げるゴングが曲の末尾に鳴るのはズレているだろう、という指摘はあるかも知れない。この点に関しては文字通りには反論の余地はないが、だとしたらそれは標題から逆に音楽に辿ろうとするが故に発生する問題だと返すことはできるだろう。「死後の世界への到着を告げる」という言葉がもたらす歪みが問題だというなら、或る種の相転移のポイントの通過を表すというように言い直しても良い。そもそもがそのようなゴングの音の象徴学に拠るならば、曲頭からゴングが鳴り響く葬送の歩みのような『大地の歌』の「告別」は、既に「死の世界」だということになるだろうが、それでは「告別」の中間部分の器楽による「葬送行進曲」はどうなる、といった疑問が出て来ることになるだろう。こんな議論を追いかけていけば、そのうちに当の音楽からどんどん離れて行ってしまう。要するにこうした標題的な詮索は、音楽に対して言葉の持つ歪みを押し付けているに過ぎないし、音楽は出来事を文字通り「物語る」のではないのであって、寧ろ「時間性の様態のシミュレータ」と見做すのが適切なのだが、このことは別に書いたのでここでは繰り返さない。

　ただ、その上でアドルノがかくもこだわった第3楽章末尾のゴングに関して確認してみたいと思うことがある。それはそのゴングを、クシェネク＝ヨークル版に従ってフォルテで鳴らすべきか、それともクック版におけるように小さく鳴らすべきか、いずれが妥当かという点である。最初はFM放送で（諸井誠さんによる解説に導かれて）レヴァインの録音を聴き、しばらくはインバルがヘッセン放送のオーケストラと録音したものが私のリファレンスだったのだが、メモを記した当時私が良く聴いていたのはクルト・ザンデルリンクが旧東ドイツのベルリン交響楽団（現在のベルリン・コンツェルトハウス管弦楽団）を演奏した全曲版だった（やはり旧東ドイツのドイツ・シャルプラッテン・レーベルから出ていた）らしく、メモにはこの演奏への言及もある。これも良く知られていることだろうが、ザンデルリンクはクック版に基づくとはいえ、器楽法上は独自の変更をかなり行って演奏をしているのだが、プルガトリオ末尾のゴングの一撃もまた、当時の私がクシェネク＝ヨークル版を参考にしたかと思ったくらい、はっきりと鳴らされている。アドルノへの問いに戻れば、クシェネク＝ヨークル版にせよクック版にせよ、ここの部分については「補筆」であるには違いなかろうから、アドルノは、第10交響曲の演奏そのものに否定的であった原則に立ち戻って、そんなことはマーラー自身でもなければ答えられない、というようにこちらの問いを切って捨てそうな気がするのだが、それでもなお問いかけてみたくなる程度には、アドルノの「アメリカの消防士のゴング」への拘りに対して、私自身の方がひっかかりを感じているということなのであろう。

　私は、別のところで何度となく記している通り、第10交響曲をアダージョのみから捉えるのではなく、全5楽章の交響曲として捉える立場に与したく思っていて、クックの補筆は、私のような単なるアマチュアの愛好家にとっては十分過ぎる程に、マーラーの意図を捉えたものと感じている。恐らくはこの点こそが分岐点なのだろうが、そういう私にとってはアドルノの本件についての了解、つまりゴングと大太鼓の間の「ずれ」は、単に第10交響曲が未完成であるという事実に即した是非の議論に留まらず、第10交響曲を含めた、もっと言えば、曲毎に発展し続けたマーラーの創作活動にあって、それをあり得たかもしれない全作品の頂点として捉えるような位置づけに基づいてマーラーの作品全体を考える立場からすれば、或いは決定的かも知れない認識の相違に通じているのではないかという気がしてならないのである。

　スタニスワフ・レムの『ビット文学の歴史』における、ドストエフスキーの『未成年』と『カラマーゾフの兄弟』の間に横たわるミッシング・リンクにあたる作品のAIによる仮構やカフカの未完成作品『城』の補完の（こちらは実は失敗に終わることが、その理由の示唆的な説明とともに語られる）エピソードを、マーラーの第10交響曲の場合に突き合わせてみることは極めて興味深い。ネットワークやデジタルメディアの発達に伴う「創作」、「創作物」の概念の変化に加えて、AIによる文学作品、美術作品、音楽作品の「創作」というのが一気に現実味を帯びるようになった今日、未完成であるが故に、ありうべき存在という様態でした存在しえない「幽霊的」な存在である第10交響曲に対してどのように向き合うかということは決して些末な問題とは思えない。AIが第10交響曲を補完することは、仮にやったとしても（レムがカフカの『城』について示唆したのと、或る部分では全く異なる―寧ろその点についてはブルックナーの第9交響曲のフィナーレの方が『城』のケースには近い―だろうが、大枠としては同じような理由で）必ずや失敗に終わるであろうと私は思っていて、そのことはそう考える理由とともに別にところに記した通りだが、そのことが結局は（それこそカフカの地下茎の迷路の如く）アドルノがカフカを引き合いに出したことの背後にある認識の正しさを裏付けていることに通じている点を認めるには吝かでなくとも、こと第10交響曲に関しては、アドルノの認識を今日我が事として引き受けようとしたときに、彼の立場を離れることが寧ろ必要なことのように感じられるのである。彼と共にプルガトリオ末尾のゴングの響きの前で立ち止まるのではなく、本当はそうであった筈の、未聞の、未成のバス・ドラムの一撃をこそ受け止めるべきなのではなかろうか？

　我々が第10交響曲を聴く準備はまだ整っていないとシェーンベルクが述べてからもう1世紀が経過したが、恐らくその準備は未だ出来ていないと言うべきだろう。だがそれは、その準備をまだ進めなくても良いということでもないし、そうした準備が最早不要のものとなったということでもないだろう。寧ろ今やそれを準備すべき時に至ったという認識を持つべきなのではなかろうか。
　
　いや、シェーンベルクがプラハ講演で第10交響曲に言及した、そのもともとの意図に沿うならば、それはそもそも時代の問題ではないのだ。1世紀の歳月は第10交響曲に関する展望を変えてしまった。シェーンベルクが第10について「ほとんど知ることがないだろう」ということの半面においてはまさしく、事実としてそうだろう。講演末尾の「まだわれわれに啓示されていない」という言葉もまた、その限りにおいては今日には最早相応しくないものかも知れない。だが、もう半面は？もう半面は、未だシンギュラリティの手前にいる以上、シェーンベルクが語った時と今とで何ほどの違いがあろうか。なおそこで例えば、マーラーの生命を奪った病は程なくして治癒可能なものとなったことを指摘する人はいるかも知れないし、事実としてそれは決して間違いではない。だがそれが「極限」の向こう側についての何かを授けるのであるとすれば、そのことの意味はシェーンベルクが語ったような水準では、限定的なものに留まるだろう。

　だが一方で、我々は第10交響曲について何某かのことを知ることになったのだし、そのことを恰も無かったかの如き態度をとることは最早許されまい。のみならず、シンギュラリティについて、つまり総じて100年前に既に先取りするようなかたちで予感されていた領域についてもまた、かつてとは異なる切迫の下で論じられる時代となったことは抗いがたい事実であろう。とあるとするならば再び、寧ろ今や第10交響曲を聴く準備をすべき時に至ったという認識を持つべきなのではなかろうかと感じずにはいられない。たとえその準備が私の生きている裡には終わらないとしても。そもそも私にはその準備を成し遂げるだけの能力も時間も遺されていないとしても。マーラーの最後の同時代者かも知れない一人として。その音楽を受け取ってしまった者に課せられた義務として。（2020.1.18初稿公開、2020.1.26-28加筆, 2024.8.11 「グラフィックとしてのフラグメント」の引用に試訳を追加。）

MIDIファイルを入力とした調性推定についての注記：とりあえずの「まとめ」に替えて(2023.7.10更新)

[はじめに]　本ブログの記事「MIDIファイルを入力とした分析の準備：調性推定と和音のラべリング」(https://gustav-mahler-yojibee.blogspot.com/2019/12/midi.html）にてその結果を公開した調性推定について、それをマーラーに適用することに関して、複数の専門家（作曲家、音楽学者）の方から厳しい批判を頂戴しました。
　頂いた批判の骨子は、一つにはマーラーの音楽については、基本的にこのような分析手法を適用しても得ることが少なく、伝統的な分析による方が結局近道であること、もう一つにはこのような手法の適用結果を利用するにあたっては、前提として伝統的な和声学に基づく分析に基づいた批判的な見方ができなくてはならないということに存すると認識しています。
　既に報告した通り、MIDIファイルの内容の正確さついての検証を行う必要が生じ、そのための時間的な余裕がないことから、これ以上この試行を継続する意義は薄れてしまっていますが、いわば顛末書のようなものとして、頂いた批判に対する私の見解を、批判を頂けたことに対する感謝の気持ちとともに、以下に記録しておくことにします。
　応答を残すことは、このようなアマチュアの拙い試みに対してまともに向き合って頂けたことに対する或る種の義務のようなものであると考えるからであり、やったことを振り返った上で区切りとしたいからでもあります。更に言えば、公開したデータというものが専門的な観点からはどのように受け止められるか、どのような点に限界があるのか、どのような点に留意して制限して利用すべきかに関して、利用される方に知って頂くことが必要とも考えました。
　なお、以下の内容を踏まえた上で私の宿題（ただし私には最早それを解くことができないことが判明したわけですが）として残っているのは、以下でも触れている、アドルノのモノグラフにおける主張（つまり、その冒頭での楽曲分析の限界の主張や、カテゴリやキャラクターといった概念装置の導入、そしてマーラーの形式の「唯名論」的性格の指摘など）をどのように受け止めたら良いのかということです。クラムハンスルの手法に色々な制限があることについては異論はありませんが、数理的な手法のマーラーへの適用が不適切である理由が、単にクラムハンスルの手法の個別的な制限故であるのか、そうではなく伝統的な楽曲分析ではない、数理的な手法一般の問題なのかによって展望は大きく異なってくるように感じます。
　しかし最早この点についての議論を、それをする資格のない私が行う越権をこれ以上続けることは慎むこととして、（私にとってはまさにそうであるので）「未解決問題」として残し、それを論じ、解決する資格のある方々が解決してくれることに期待して筆を擱く他ありません。そして文字通りのアーカイブとなるこのブログの記事が、単なるきっかけ、しかもそれが不完全であるという否定的な様態でのきっかけとしてであれ、そうした解決に対して何某か寄与することを願わずにはいられません。(2020.1.20-22記)

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確実なデータがあるもっともシンプルかつ小さな作品を分析してみて、まず機械がおかしな答を出さないかどうかの確認をし、分析の精度や利点、弱点などを明らかにした上でやるべきで、マーラーの分析はそれらをやった後のずっと先にようやく見えてくるものなのに、何故いきなりマーラーのような複雑なものに飛びついたのかについて、まず述べることにします。

（［2023.7.10補足］ところでここで、「確実なデータがあるもっともシンプルかつ小さな作品」というのを、マーラーの作品の内側に限定すれば、実は私は、まさに指摘されたような手順を踏んで分析を進めています。これは偶々最初がそうだったので、その後も踏襲しているのですが、新しい分析・集計方法を思いつくと、まずそれが期待した通りになりそうかを検討し、その検討にパスすれば、今度はプログラムを書いて実際に動かしてみるのですが、その際には、『リュッケルト歌曲集』の1曲、「私はやわらかな香りをかいだ」(Ich atmet' einen linden Duft)）のMIDIファイルのあるバージョンを用いてテストをするというのが標準の手順になっています。（実際、ここで問題になっている分析に先立つ報告「MIDIファイルを入力とした分析の準備作業：和音の分類とパターンの可視化」において、この作品をサンプルとして提示したこともあります。）40小節に満たないこの小品についてなら、あるMIDIファイルが楽譜通りに入力されているかの確認もできますし、プログラムの出力が意図した仕様通りのものであるかどうかについての確認も、各小節毎・各拍毎に行えますし、やろうとしている分析の精度や利点、弱点などについてもある程度は見当をつけることができます。こうした点は、エンジニアリングの観点でごく当たり前のことであり、寧ろ指摘の通りに考えて実際にやっているからにはこの点については指摘に対して異論があろうはずがありません。従って以下の弁明は、ここで「確実なデータがあるもっともシンプルかつ小さな作品」というのが、実質として、例えば古典派のシンプルなピアノソナタの楽章のような、単に小さいだけではなく、用いられている和声の種類が限定され、拍節構造もシンプルなものを含意していて、マーラーに取り組む前にそうしたもので検証を行わないのか、という含意を持っているとしたら、という点についての弁明になります。エンジニアリング的な観点からのトリヴィアルな弁明ということなら、「確実である」ことは「小さい」ことで検証の被覆率（カバレッジ）をあげる―ーあわよくば100%にするーーことができれば良く、マーラーの中で実際にこれができる作品があるので、それを取り上げれば十分である一方で、「シンプル」という点について言えば、例えば和声的な多様性（転調のパターンのそれを含む）ということについて言えば、古典派の中でもシンプルな作品だとパターンが限定され過ぎて却って網羅性の点で問題が生じる懸念があるし、マーラーの場合には珍しくない拍子の変化についてはプログラムの検証上無視できないでしょう。勿論だからといって「私はやわらかな香りをかいだ」(Ich atmet' einen linden Duft)）1曲で必要十分であるという訳ではないのですが、そうした条件を考慮した上での、或る種「現場」でのノウハウの如きものとして、この曲が選択されたというのが弁明になるでしょうか？とは言うものの、この点について明示的に言及することなしに以下だけを述べるのは明らかに説明不足であるため、その点をお詫びして補足するとともに、以下のコメントは、ここで述べた点を踏まえた上での更なる弁明ということでお読み頂けるようお願いする次第です。）

なぜ手順を踏まなかったかについて言えば、クラムハンスルの手法を、作品がどのように出来ているのか、楽曲分析したらどのように分析できるかとは基本的に関係なく、調性音楽に親しんできたけど専門的な訓練を受けた「エキスパート」（アドルノの聴取の類型論を思い浮かべて頂ければと思います）ではない人間が聞いたらどう聴こえるかについての非常に肌理の粗い、単純なモデルでしかないという了解に基づき、そのようなアプローチでの調性推定に関する限りにおいては、伝統的な楽曲分析においてそれが複雑であるかどうか、伝統的な楽曲分析において難しい対象であるかどうかはあまり関係ないと思っていたというのが正直なところです。

複雑で長大だから精度の高いデータを作るのは難しいというのは別の問題ですし、調性推定一般がそうだということもありません。例えば伝統的な楽曲分析でいう調性の推定は、私の知る限りでもそうではなさそうに見えますし、統計的なデータに基づかない推定であれば、プログラムによる推定でも、ここでの手法とは特性が全く異なります。そして、そうした手法を試行して後にこのような統計的な手法を用いるべきではないかということが主旨であるとするならば、その限りでは、マーラーの分析をやる前にやらないとならない手順があるというご指摘には異論はありません。

ただ、こういう発想は、それ自体、伝統的な楽曲分析の観点からは許容しがたいのかも知れませんが、ことによったら訓練されていない聴き手の耳は寧ろ、まさにそのような許容しがたいものであるということはないのだろうかとも思います。

というよりも素直に考えて、私は例えば、三輪眞弘さんの作品もパレストリーナも、ヴェーベルンもクセナキスも、或いは能楽の囃子のようなものも皆等しく「音楽」として聴いている、そういう水準が間違いなく存在すると感じているのだと思います。そして少なくとも私の中では、そのような中にマーラーが位置づけられている。恐らくはそれはマーラーを正しく聴くには不適切なのかも知れません。そういう聴き方ではマーラーを正しく聴くことはできないかも知れませんが、遺憾ながらそれが私の現実なのです。

勿論、言語におけるコードスイッチングのように狭義の調性音楽固有の聴き方というのがあって、対象に応じて聴き方を切り替えているといったことは実際に起きているだろうと思いますし、調性音楽固有の領域で繊細で微妙な問題がたくさんあって、それこそが本質的であるということに私も同意したく思いますが、前者はそれこそ程度の問題だし、後者は事実上は別としてそれが権利上、特権的なものだとは思わないのです。

一方、事実としてはそれは特権的かも知れません。例えば私は能楽の微妙な部分について聴けていないと思いますし、「ありえたかも知れない音楽」であり、伝統自体をいわばその都度仮構する三輪さんの音楽についてはとりわけそうだと思います。言語における母語とそれ以外のような質的な差になっているかどうかは措いても、総じて西洋の調性音楽を聴く頻度に応じた分だけは事実として特権的な扱いを受けるように脳内のネットワークが形成されているように思います。とはいえ、だからといって伝統的な西洋の調性音楽について専門的な訓練を受けているわけでもなく、結局どれについても私の「耳」（それには理論的な知識も含まれますが）は訓練が足りないが故の限界を持っているという自覚もまた、あります。そうでありながら、或る種の成り行きで、基本的には西洋の調性音楽をベースとした（但し精度には甚だ問題のある）「耳」を備えるようになり、それでもって狭義の調性音楽でないものをも聴いている。こうした条件にいるからこそ、クラムハンスルの統計を用いた相関のような仕方で調的推定をやる意味があると感じた、そして伝統的な調性音楽の分析においては、常に逸脱という仕方でその特性が測られているように見えるマーラーのような対象こそ、寧ろ対象としてふさわしいと感じたということなのだろうと思います。

しかし実際にやってみると、どうやらマーラーのMIDIデータの信頼性が思った以上に低いらしいことがわかってきた以上、確実なデータがあるもっともシンプルかつ小さな作品を分析すべきというのは、結果的にご指摘の通りなのだと思います。少なくとも個別の結果についての調査を行い、結果が想定されたものにならない理由を一つ一つ明らかにする必要があると認識しています。単なる入力ミスなのか、データの欠落なのか、作成方法に由来するずれのような問題（DTMの領域では「クオンタイズ」の対象とされるもの）なのか、はたまたMIDIデータ作成に許容されている大きな自由度故に、プログラムが想定していない設定がされているために正しくデータが読めていないためなのか、或いは単にプログラムの不具合なのかの切り分けをして、一つ一つ解決する必要があります。そもそもその全てのケースを想定した解析プログラムを書くことが事実上困難であるとすれば、データの信頼度を考慮しつつ、対象とするデータを限定して、その範囲では正しく解析できるプログラムにするという妥協点を見つける必要があるでしょう。そしてこれらの作業は、最終的にマーラーの作品が対象なのであれば、シンプルで信頼できるデータを対象にしていたらできません。例えて言えば、マーラーの作品の実演においても必ずしも楽譜通りになるとは限らない、特に長大で複雑で難しいが故に、ミスがつきものであるのと同じこと、現実のデータというのはこうしたものなのだと思います。

一世紀の校訂作業と実際の現場での利用を経て極めて信頼性が高くなっているであろう楽譜であっても現実にはミスプリントが皆無ではない可能性については今は措きます。それを言えば、そもそもMIDIデータの入力がどの版の楽譜を基に行われたのかも問題になりえますが、現在私が直面しているのは、そのような高水準の精度の問題ではなく、現実に起きているMIDIデータに固有の様々なタイプの問題だからです。それは寧ろ、データ分析において常に直面するデータクリーニングのような前段階に近い性質のものであるという認識を持っています。

その反面で、分析結果がどうなりそうなのかについて、私は予断を持ちすぎていたのだという点も感じます。つまり分析の前提から、精度や利点、弱点などは、やる前からある程度想像がつくと思ってしまっていて、それ故に、伝統的な楽曲分析の基本と応用の切り分けと、このようなタイプの分析の得意・不得意にずれがあることも当然のことだと思っていました。けれどもだからといって、伝統的な和声学に基づく分析に基づく批判的な検討を抜きにすることは正当化できないということは認めざるを得ません。

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まず、和音のラべリングの結果を後から追加して、調性推定の結果と並べてしまったことが誤解を与えてしまったかも知れません。

和音のラべリングと調性推定は手法上独立で、関係ありません。そもそも分析に使っている対象のデータが、前者は拍なり小節の先頭に鳴っている和音であり、後者は拍内、小節内に鳴っている全ての音の各音毎の持続時間のデータであって、全く異なりますから、単純な比較はできません。そして関係がない別々のやり方だからこそ、並べて眺める意味があると思って追加したのであって、和音のラべリング結果と突き合わせて調性推定が妥当かどうかを検証する目的ではありませんでした。勿論それもまた、或る種間接的な参考にはなりえるでしょうが、上記の理由から直接的には間違いですし、そのことには結果報告のブログの記事中でも言及していますが、結果データのみを手にしたときに、あたかもそれを意図しているかの如き構成になってしまった点は反省しています。

一方、古典的な作品の和声の分析結果と照合することで分析の精度や利点、弱点を確認するということの意義について言えば、機能和声に基づく分析と、クラムハンスルの調性推定の比較を行うという観点では意味のあることかと思います。しかしそれを除けば、和音毎に一つ一つ人間が分析しながら見ていくアプローチを取るのであれば、まさに正統的な楽曲分析をすれば済むことで、あえてここで試みたような別の方法で調性推定をする意味が私には判然としません。

繰り返しになりますが、ここでは小節を区間とした推定を行っています。拍毎の推定も出していますが、それもまた、小節内で鳴っている音がだんだんと累積されていくので、拍毎に和音を同定して、非和声音が含まれているかを分析して…というのと同一のことをやっているわけではありません。

勿論、純粋に拍毎に鳴っている音に限定して拍毎に独立に推定を行うことも、プログラムを少し修正すればできるので、古典派のシンプルな作品についてその結果をお送りすることは可能です。ですがクラムハンスルが実際にやった推定実験を見る限り、また理屈の上でも本筋は逆に見えます。寧ろもっと長い区間で推定すべきなのでは、と思います。なぜならここでやっているのは、個々の和声の機能分析ではなく、調性推定だからで、一般には調性が確立するためには単一の和音ではなく、和音の系列が必要と考えるのが自然だからです。

例えば或る小節の中がある調のドミナントと機能分析される和音のみで占められているとした時、その小節を1区間として独立に調性推定したら、転調先のトニカと見做して調性推定をしてしまうことが予想されます（結果を確認すれば、実際そのようになっている部分があるかと思います）。そしてそれが転調先の調性のトニカでなく主調のドミナントなのは周囲を見たらわかることです。だとしたら、この調性推定のやり方に限っては、推定対象の区間を拡げるべきなのです。

それでは区間どれくらい長ければいいのか？というのが難問です。人間には簡単でも、機械に自動判定させるのは難しく、逆に調性推定の結果をもとにして区切りを推定することになるかも知れないとも思います。私はといえば、次のステップとして（自動処理に拘ればズルをすることになりますが）フレーズの区切り、楽段の区切りの情報を与えて、その区間内で推定させるということを考えていました。

更に、それでは上記の例のような調性推定結果をどう受け止めるべきかと言えば、和声の機能分析の観点から見て間違いなので、こんなものは使えないと判断するよりは、そのことが和声の機能や調性の確立について告げているものを受け止めることの方が興味深いように思えました。そしてもしこのレベルの検討が必要であるというのであれば、それは現実の作品を分析するのではなく、ここでの例のような更に単純な例を構成すれば良く、かつそれはわざわざプログラムを書いてやってみるまでもなく、机上で分析可能なことのように思われたのです。

他方でマーラーの作品のように、和声の機能分析が困難で、エキスパートのみがそれを行うことができるような対象であれば、いわばトンネルを反対側から掘り進めるようにして、このような単純な手法による結果からでも浮かび上がってくる何かがあるというように思って試行してみたのです。

しかしことマーラーの作品に関しては、その作品の成り立ちからしてそのような発想は誤りで、逆にこちらこそ試してみるまでもなく、やることの意義はなく、和声の機能分析が一番の近道とのことで、見当外れのことをやっていたことになり、この点は不明を愧じる他ありません。

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これは分析というよりプログラムの作成のディティールの話になりますが、機械がおかしな答を出さないということについては別の話になります。具体的な個別のプログラムそれぞれについて言えば実は基準は明確です。

和音のラベリングでは、ラベリングの手順が決まっていて、ルールが決まっていて、その通りに動けばプログラムとしてはOKです。そしてこのレベルの確認、つまり普通のプログラムとしてのテストはそれなりに行っています。古典的な作品のMIDIデータも用意しましたし、マーラーでは重心計算以来、まず規模の小さな歌曲（記事でもよくサンプルとして出す「私はやわらかな香りをかいだ」）で確認するということをずっと行ってきました。ただ小さなデータでは出現しない条件もあります。なので一方では、マーラーの作品の全てのMIDIデータを通してみるということもやっています。そしてもともと最終目的がマーラーの作品についての結果を得ることであれば、極論すれば、他の作品のMIDIデータでうまく動かなくても支障はないという考え方もできます。実際、MIDIデータの作り方は様々で、恐らくは作成に用いたシーケンサ依存の部分があり、その全てのケースに対応したプログラムを作成を目指したわけではありません。実際、幸いマーラーのMIDIデータには一つもなかったのですが、他の作品のMIDIデータではMIDIファイルからデータを抽出する最初のプログラムが異常終了するケースもありましたが、上記の理由から、これには対応しませんでした。

ただご指摘はこのレベルでの検証に対するものではないと思います。そしてこのレベルで「正しく」動くことが確認できた上でも、調性推定にしても、和音のラベリングにしても、でも現実に動かせば、間違いなくエキスパートが見れば「変な答」を出すことがあるでしょう。

それは一つには、もともとのデータ(MIDIファイル自体)がおかしい場合で、これは事前にわからないし、どうしようもないです。一つ一つ確認して元のMIDIデータの方を直すしかない。そしてマーラーに適用した今回のケースでは、この点が現実的なネックとなって、先に進めることの意義が薄れてしまったと認識しています。

もう一つは手順そのものに不足がある場合です。こちらは或る意味で初めから想定済です。そしてその限りでは、できないものははじめからできないので、MIDIファイルの大きさや作品の複雑さは実は関係ないのです。意地の悪いひっかけ問題も意味がなく、やる前からできないことは仕様上明確で、できるようにするには、仕様を変更し、手順を追加しなくてはいけません。

和音のラベリングのパターンの種類については、別に報告している通り、百通り以上のパターンを分類できるように用意していますが、調性推定結果とともに表示することにした和音のラベリングは、そのうち頻度が高くで先行文献等でも扱われている十数種類に限定しています。出現頻度が稀になるとその和音に名前がないし、曲によっては百通り以上用意しても100%にはならなかったからです。そしてそれがMIDIデータの誤りに由来する可能性が出てきたため、パターン数を増やすのは一旦中断しています。そういうわけで対象となっているMIDIデータに限定しても網羅性には欠けるという中途半端な状況になっています。（なお、このレベルの網羅性については、データ自体の公開は目的から外れるため行っていませんが、報告の文章の中には、マーラー以外の作品の場合にどうであったかについて、ごく簡単にではありますが触れた箇所があると思います。）

ただしMIDIデータの誤りは別として、それは別にプログラムの問題ではなく、理論が興味を持たない和音というのがたくさんあるということの結果に過ぎないようにも思います。或る珍しい和音に意味があるのかないのかというのは結局のところプログラムにはわからない（これは機械学習のプログラムでも同様です）。基準は結局人間が与えているに過ぎません。プログラムとしてどこまで自動化されているかどうかは、プログラムを作っていて、その動作を理解している製作者でもある私の立場からすれば枝葉に過ぎないと思います。機械の分析対象外のケースについては、それが人間の扱える程度の量なら手作業でやってもいいわけですし…寧ろ難しいのは、特定の和音が重要であるかどうかを判定する能力です。それは単なる出現頻度だけでは測れない筈で、簡単なやり方では外れ値との区別がつかないでしょう。そしてそれが統計ベースの手法の限界であると思います。

調性推定の場合には少し事情は違いますが、プログラムとしてOKかどうかは、或る意味で和音のラベリングよりもっと手前の問題です。ここではMIDIデータの方の信頼性とは別に、推定の根拠となっているクラムハンスルの調性とピッチの出現頻度の統計データの側の持つ限界が一つと、統計的な手法が持つ限界というのがもう一つ出てくるからです。そしてこちらについては意地の悪いひっかけ問題は一定の意味を持ちます。工学の分野ではある手法の理論的限界を明らかにする「騙し問題」というのがありますが、それに相当する役割を期待するわけです。ただ、今回のプログラムは、機械学習のような「やってみないとわからない」部分は少ないので、理論的な興味は薄いかも知れません。

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次いで、敢えて通常の楽曲分析ではなくこうしたプログラムを使おうとしたのはなぜかについて言えば、私個人についてはそうしたくなる明確な動機が幾つかありました。

ことマーラーに限れば、程度は様々ですが楽曲分析というのにも幾つか接しています。でも複雑な大曲であるが故か、非常に大まかな楽式レベルの分析か、逆にミクロな、非常に範囲を限定した分析しかない。その一方で、マーラーの作品の一般的特徴のようなことが、具体的な裏付け抜きで言われたりして、それに説得力を感じたり感じなかったりするわけです。その根拠を確かめようと思っても確かめる術がない。更には楽曲分析の結果がしばしば一致しないのも困惑の種で、そうなると自分なりに判断根拠が欲しくなります。結局のところ、他の作曲家の作品ならいざ知らず、マーラーは（所詮程度の問題に過ぎないとはいえ）私が最も良く知っていて、あそこの部分がどうなっているのか？誰かがこういうことを言っているが、そこはどうだったか？といった具体的に確認したい事柄が山程あったからというのが理由なのでしょう。更に言えば、アドルノが通常の楽曲分析でマーラーを理解することの限界を述べていますし、繰り返しになりますが、多くの場合、音楽学の領域での分析のほとんどは規範的なものからの逸脱によってマーラーの独自性を測ろうとする。それではアドルノいうところの「唯名論的」な性格は捉えられないので、それならば寧ろ、データに即したボトムアップな見方、伝統的な見方ではない見方にも可能性があるのではないかと思った、というのもあります。

クラムハンスルのモデルがそうである訳ではないけれど、そこから出発して、例えば相転移や自己組織化のような現象や分岐現象がみられたり、（疑似）カオス的な挙動をする系とのアナロジーが抽象度を上げたあるレベルで成り立っているというような見方に展開していくことはできないか、それが優れて「人間的」な時間、またしてもアドルノを参照すれば「小説」的な時間性を備えたものであり、通常の数理モデルでは扱い辛いものであるとするならば、音楽を「時間の感受のシミュレータ」とする立場から、生命や意識に対する複雑系的なアプローチを援用することによって捉えることなら可能ではないだろうか、というような発想にも繋がっていきます。但しその時には、具体的な楽曲分析の対象としての狭義の「調性」の推移ではなく、より一般化された或る種の特徴の軌道が記述対象となるのものと考えるのが自然に思われます。もっとも最後の部分については、それが今実現できる見通しがあるわけでもなく、いずれそのようなことが行われることを夢想しているに過ぎないのではありますが…

いやそうしたことを持ち出すまでもなく、マーラーの音楽を聴いて受け取る「感じ」の根拠を、その一部でも一面でもいいので知りたい、或いは自分なりの納得のいく理由を探したいということが根っこにあります。更に言えば、色々な文献を読んだりして、知識のフィルターを通して眺めることもできる今の状態でなく、出会った時の「子供」が受け取ったものの根拠が知りたい。ある音楽が、他の音楽では見ることのできない風景を見せてくれるとしたら、その風景が忘れられないものだとしたら、その音楽のどこに秘密が隠されているのか、知りたくなるという、ごく単純な話です。そしてマーラーについては、これは謂われない話だとは思いません。マーラーについてのモノグラフの最後の章で、アドルノは「子供」について語っていますが、素朴なレベルでは、それと私のようなアマチュアの思いと通じる部分があるのではと思い、また、あって欲しいと思っています。

私の耳は専門的な訓練を受けているわけではない。そういう意味では分析の難しさからは上級編で、エキスパートでないと手が負えないようなマーラーの音楽を、私が論じる資格はないのだと思います。私の立場は単なる「聴き手」としての「子供」に過ぎません。「子供」は、アドルノがそう書いているように、大人だったらしないような思い込みをしてしまうかも知れない。でも、そうした思い込みをさせてしまうのがマーラーの音楽の力であるとしたら、そうした「勘違い」が起きる理由も併せて私は知りたいのです。

例えばですが（実際そういう主張を見かけたのですが）ある音楽学者が、他の説は間違っている、自分の説が正しいのだと主調しているところで、私は以下のようなことを思ってしまいます。「そうかも知れないけれど、それならそれで、なぜ間違っているかだけではなく、なぜそのような間違いが起きてしまうのかということも含めた説明であるべきなのではないか？」と。よく「意識」は迷妄だ、虚像であり実在しない、という消去主義の立場がありますが、これも全く同じで、そのような「錯覚」が起きること自体に問題を解く鍵があるのでは、と思うわけです。

そして「聴き手」としての「子供」という立場に立って、マーラーの作品の調的な推移を眺めようとしたとき、その文脈の「主音」「調性」を知る必要がある、というのが今回の調性推定やら和音のラベリング作業の出発点でした。誰かに（謂わば「天下り式に」）教えてもらうのではなく、作品をそのものから「主音」「調性」はどうやったらわかるのかを調べてみた結果としてわかったのは、それを判別する手法がアルゴリズム化できてプログラムにできるような一般に共有されている定義はなさそうだし、そもそもが調的感覚というのは、文化的・社会的に形成されたものであるらしいということでした。だとしたら「「主音」「調性」はどうやったらわかるのか」という問いを「聴き手は「主音」「調性」が何と認識しているのか」にずらすという発想の方が適切かも知れないと考えたわけです。そして辿り着いたのが、そうした「文化的・社会的形成物」を実験により求める音楽に関する認知心理学の成果だったということです。

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ここで試行した調性推定の手法は枠組みとしてはシンプルです。クラムハンスルの統計を用いた相関は、作品がどのように出来ているのか、楽曲分析したらどのように分析できるかとは基本的に関係なく、調性音楽に親しんできたけど専門的な訓練を受けたプロではない人間が聞いたらどう聴こえるかについての非常に肌理の粗い、単純なモデルでしかないのです。その限りで、調性推定に限ればここでやっていることはエキスパートがやっている高度な楽曲分析の自動化でもその代替手段でもありません。或る作品がどのような原理で出来ているかとは無関係に、指定区間が24のどの調性に聴こえるかを統計的に推定しているだけなのです。

それは伝統的な機能和声に基かない作品、例えばクセナキスのピアノ曲についても行えます。もっとも、集合論的に音群を操作する「ヘルマ」については、調的感覚がそもそも考慮されていないので無意味かも知れません。一方で調的構造の一般化とでもいうべき、いわれるところの「篩の理論」を背景に持つ「エヴリアリ」については必ずしも無意味ではないように思います。（所詮は西洋音楽のある時代固有のシステムである24の短調・長調に対する相関であるとしたら、結局、関係ないのはどちらの場合でも一緒ではないかという意見もあるかも知れませんが。）

全ての音の出現頻度が同じだと相関は計算できませんので、現実にある区間で完全に調性が無ければそもそも分析はできないのですが、調性感がなくなるすれすれで、しかも伝統的な機能和声に従って書かれていないので伝統的な分析が行えない作品がどの調性に聴こえるか？という問題設定なら選択肢として有力かも知れません。(そういう分析をやること自体の意味についてはまた別に議論があるでしょうが。)

拡張されているとはいえ、基本的には伝統的な調性音楽を基盤としているマーラーについては、このような手法で得られるものは限定的で、伝統的な楽曲分析の方が結局は近道であり、適用対象として不適切であるなら（ただもしそうならば、既述のアドルノの主張や提案はどのように受け止めたらいいのかという問題は残りますが、今は措きます）、他の何かでも構いません。例えば三輪眞弘さんの新調性主義の作品ではどうでしょうか？三輪さんが新調性主義に属する或る作品のノートに「変化を続ける音型パターンに対して、繊細にそして「機械のように」反応するしかない」と記している、聴き手の側で起きていることを、それは浮かび上がらせるでしょうか？その結果をどのように受け止めたらいいのでしょうか？或いはそれは「機械のように」反応する人間ならぬ、文字通り「機械」が聴いた反応と考えるべきなのでしょうか？そして、これはやってみる意義があることでしょうか、それともそうではないのでしょうか？

三輪さんの新調性主義の作品を例に出しましたが、つまるところ対象はパレストリーナでもヴェーベルンでもクセナキスでもいい。完全に旋法でてきている音楽に適用することの意味は自明ではないでしょうが、マーラーのように基本的には調性音楽だが、旋法的な部分がそこかしこに出現する、或いは特に晩年に向けて、調性感が希薄になるようなケースについてなら、狭義の調性音楽に親しんだ人が聴いたらどう聴こえるかということの粗い近似にはなっていると言えないでしょうか。それをやることに意義を認めるかどうかは立場と目的によるでしょうが。

一方でミルトン・バビット式のトータルセリー的な方向性は、作品を構築する論理とどう聴こえるかが乖離しているといったような批判があると思いますが、そういう観点では、実際にどう聴こえうるかを推定する手掛かりになると思います。私は詳しくないですが、ベルクの音楽は同じ十二音でも、調的に聴こえる部分が多いというような話にしてもそうではないかと思います。

繰り返しになりますが、ある区間で本当に12音の分布が全て均一であるならば、相関は計算できないですから、逆にこの手法が成り立たないような作品は調性から自由になったということになるかと思います。そのことの価値はまた別の問題で、事実してそうであるということです。もっともこれも「自由」の定義に依存するのでしょうが…

それを考えれば、クラムハンスルが「正解当て」の問題のようにして調性推定を検証に用いたのは、検証としては勿論間違っていないでしょうが、手法そのものの持つ意味合いを考えれば、誤解を招くような使い方であったという見方ができるのかも知れません。本来、そうした「正解」を云々することがそもそも不適切な対象であるからこそ、相関をとることの意義が生じるのではないかと思われるからです。

繰り返しになりますが、伝統的な調性音楽の拡張した形態であるマーラーのような作品の場合、部分によっては調性感が希薄になったり、揺らいだりということが起きることがありますが、それに対して素人は何調と何調との間で揺らいでいるというのを自覚的には言えないかも知れません。そういう場合にもこの分析によってそれが浮かび上がってくることが期待できるように思えます。それは伝統的な楽曲分析と合致するかも知れないし、合致しないかも知れません。でも仮に合致していない場合、だから間違いなのでしょうか？いや伝統的な和声学の基準に照らしてそれが間違いだとして、でも、素人の耳にはそう聞こえてしまうという事実を示唆しているということはないでしょうか？勿論モデルとしての近似の精度が甘くて聞こえている通りに結果が出ないということはあるかも知れませんが、それは別の問題で、ここで確認したいのは、基本的な枠組みとしてこのような手法で調性推定を行うことが何をしていることになるのかという点です。

私はこれを或る種の事実として受け止めるべきではと考えました。調性音楽に親しんだ人の調性とピッチの出現頻度の統計データを使うと専門的な観点から見てうまく行く部分もうまく行かない部分もひっくるめて事実としてこうなるということです。理論的な分析の結果ではなく、寧ろ分析の対象となる事実の一部、楽曲そのものではなく、楽曲の聴取の水準でこのような地形が形成されているのだということを事実として眺める方がいいように感じました。逆に、それ以外には使い道はないかも知れません。それもあって、解釈とかはできるだけ加えずに結果を公開したのでした。

関連して、この手法が音響物理学的に有意味なのか、それとも調性音楽的に有意味なのかについては、調性音楽が音響物理学的にも一定の合理性を持つ限りで前者とも無関係とは言えないでしょうが、一般論として前者ということはなく、後者だろうと思います。なぜならこの推定のベースとなっているクラムハンスルの調性とピッチの出現頻度の相関の統計データは調性音楽に慣れ親しんだ人間を対象とした実験の結果だからです。

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実は一番最初は紙に五度圏の丸を描いて調性の変化を手書きで書いていたのを見かねて、今ならMIDIデータを解析することもできると教えてくださった方がいたのがそもそもの始まりでした。そして優秀な学者が膨大な時間をかけて、マーラーの作品のうちの一つの、ことによれば更に一部を楽曲分析する、あるいは横断的に眺めるかわりに、個別の作品については「摘まみ食い」になるという現実を目の当たりにして、自分の能力と自分に遺された時間を考えた上で、マーラーの作品の全体を薄く広く眺めるというのを、自分にできる範囲で一旦はやっておきたいと考えたのでした。

ということで公開したデータは撤回せずにそのままにしたいと思っています。勿論、こんなことには価値はないかも知れません。知る限り、私が今公開しているような結果が別に公開されていることはないようですが、そもそも他の誰にとってもこんなデータは意味がないかも知れない。どの程度の価値があるかはわからないし、それを自分で独力で1つ1つ確認する時間はとれませんが、他の誰かがやってくれる可能性もあり、あるいはもっと精度の良い、価値のあるものが出てくるきっかけになるかも知れないという淡い期待にすがりたいからです。

私には価値のあるものを後に残すことはできないので、このレベルのものでさえ、主観的には大事なのです。それゆえ既にやってしまった「暴挙」については、いわば沈みかかった船から投じられた投壜通信の如きものとして、大目に見て頂きたくお願い致します。(2020.1.19執筆、20公開, 22, 27, 28, 2.1加筆. 2023.7.10補足追記)

物語論的分析をする音楽学者と音楽を聴く「子供」とAIを巡る断想(2020.1.4改訂)

　マーラーを対象とした分析の中には、特に物語論的分析と称するものがあって、以前より手元にあったVera Micznikの論文 Music and Narrativity Revisited: Degrees of Narrativity in Beethoven and Mahler (2000) の再読を出発点に、Micznikが参照されている論文を中心に幾つか入手できた（無料で入手できるものだけですが）ものを一通り読み終えて感じたことを備忘のために書き留めたものを公開しました。(マーラーの交響曲の物語論的分析に対する疑問についてのメモ）

　人間が「物語る」存在であることと、人間が「うたう」存在であることとの間には深い関連があると考えますが、文学の一ジャンルである「小説」のアナロジーから、いわば逆立ちするようにして音楽にアプローチするにあたって、前者の媒体である言語の持つ性質を、強引に音楽にごり押ししようとする記号論ベースのアプローチでは うまくいかないように感じます。それと同時に、ある時代に確立した制作のユーティリティとしての規範やら、シェンカーの図式のような、これまたある時代の作品を分析して得られた規則性を基準に、そこからの逸脱の距離の大きさで「物語性」の程度を測るというのも、如何にして「音楽」が「物語る」ことができる（かのようにみえる）のかについての説明としては適切でないように感じます。

　その不自然さを言い当てようと考えていて、ふと「子供」がマーラーに接する、 （シュトックハウゼンがド・ラ・グランジュのマーラー伝の序文で登場させた「宇宙人」でも良かったのですが、当世風には）AIがマーラーに接するという状況を考えることを手掛かりにできるのではないかというように思いました。

　Webでは英米系のものが入手しやすいのでどうしてもそっちに偏ってしまいますが、マーラーの楽曲分析について言えば、知る限り、シェンカー分析を何等か適用したものと物語論的分析が多いように感じます。 前者はもともとはコンピュータを用いた分析を進める方向性が掴めたらという思惑があって読み始めたのですが、結局ところあくまで人間が分析をするためのツール（単なるツールであるかについては、シェンカー自身の思いはまた別にあったようですが）であり、コンピュータを用いた分析への適用は難しそうに見えるのと、分析結果がかなり恣意的に見えたり（シェンカー自身の元々の意図から考えれば、結論ありきであったり）、トリヴィアル（別に難しい分析を経なくてもわかること）に思えたりで、なかなかしっくりきません。後者は領域横断的なものになりがちなので種々雑多ですが、個人的にはやはり音楽自体の構造の分析に基づくものでないと意味がないと考えているため、そういうものを期待して読むと、結局のところ音楽において「物語性」を成立させているものが具体的に何なのかについては、明確とは言い難いような印象を持ちます。

　そもそもが言語を範例とする「記号」として音楽を扱うということ自体に理論的には無理があると思うのですが（音楽が「記号」としても機能しうる点を認めるに吝かでないですが、それはまた別の話）、そこを強引な（にしか見えない、もっと言うとナンセンスに近い気さえする）アナロジーで対応づけるか、それをあっさり放棄して、音楽の「実質」を抜きに、領域横断的な話題に終始するかのいずれかであるように感じてしまい、違和感が募ることが多いのです。そもそもが規範との差分であったり、過去の楽曲、更には他のジャンルの作品との関係に基づくアプローチというのは、そうしたアプローチを提唱し、実践する当事者たる音楽学者の厖大な学識と、高度な分析能力を前提したものであり、例えば私自身がマーラーの作品を聴くときに、彼らの要求するような水準の聴取が出来ているとは到底思えないですし、マーラーに初めて出会った時の「子供」であった私の経験を、彼らの分析は少しも説明してくれない。勿論、高度な分析が、自分が気付かなかったようなマーラーの作品の秘密を明らかにしてくれることを否定するわけではなく、私のような愛好家はそうした分析の恩恵を最も被っているに違いないのですが、それでもなお違和感が残ります。そしてその由来を端的に述べれば、マーラーの音楽を聴く時には、確かに高度な記号操作が行われているには違いないのでしょうが、その背後で起きていること、音楽が人を惹きつけ、感動させ、或いは世界の見方を変えさせさえするといった側面については、そうした分析が語ることが余りに乏しいことに存するように思えます。そして私が知りたいのは、寧ろ、背後で起きていることの側であり、それが起きるメカニズムの側なのです。

　背後で起きていることは、一般には心理とか情動という言葉で語られ、そうした側面についての研究も行われていますが、それらの多くは、あえてやや戯画化した言い方をすれば、何種類かの作品を与えて、何種類かの感情なり、情動なりのタイプを事前に決めておいて、その間の対応づけを行うといったレベルに終始する限り、余りに肌理が粗すぎて、ここで私が知りたいことに対する回答はおろかヒントさえ与えてくれるようには思えません。せめてよりミクロな音楽の脈絡に応じて、聴き手の「心」の内部で起きていることに対して、例えば今日ならば脳の働き方を測定することによって探りを入れるようなものであるべきだろうと思います。勿論、そうした実験結果から言いうることと、ここで私が知りたいと思うこと間の径庭は大きいと思います。例えばデリック・クックが『音楽の言語』で試みたようなアプローチを考えてみると、今や辛うじてながら、それでも異なる文化的伝統を身体化している極東に住む我々から見れば、そこで試みられている音型と情動の結び付けは、全く恣意的ではないとはいえ、非常に多く文化的・社会的な文脈で形成されるものであることは間違いなく、他方でそうした我々が、クックが解明しようとした伝統に属する音楽を「聴く」ことができるからには、文化的・社会的決定論というのも誤りで、その結び付けが学習によって後成的に形成可能であることもまた、明らかであるように思えます。であるとするならば、その結び付けの手間で、そこに辿り着く前に音楽の構造の側でやれることはたくさんある筈です。

　批判ばかりしていないで、では具体的にどうすればいいのかについて述べるべきとは思いながら、漠然とした予想めいたものを書き留めることしかできないでいることは上記のメモ書きの末尾に記した通りですが、それでもこれまでデータ分析の準備を進めてきた中で、具体的なあてが全く見つかっていないというわけでもありません。MIDIデータから抽出したある時点なり時区間毎に鳴っている五度圏上の音名(ピッチクラス)の集合を12音各音を1ビットとする12ビットのベクトルで表現すれば、このベクトルのビットの遷移パターンの力学系を考えることができるでしょう。遷移規則も伝統的な和声学や対位法、楽式論のような既成の規範に基いて天下りに与えるのではなく（そうしてしまうと規則からの逸脱を測るといった発想から逃れることは困難です）、実際の作品が描き出す軌道から法則性を抽出するといった方法をとることができるでしょう。この枠組みだと機械学習で規則を学習させるというのも可能でしょう。ただしこのアプローチで大規模で複雑な作品をどこまで分析できるかはわかりません。伝統的には和声の遷移パターンに帰着できる側面に限定すれば、モデルは単純化できるでしょうが、何よりも「うたう」ことを念頭に置いた場合、旋律と旋律の複合としての対位法がマーラーの場合には特に重要なのは明らかで、 調的な図式を抽象した分析ばかりをやっていては取りこぼしてしまうことがあまりに多く、さりとてそれを回避すべく、いわゆるセカンダリー・パラメータと呼ばれる特徴量をきめ細かに捉えようとすると、次元は瞬く間に大きくなり分析は困難になることが容易に予想できます。

　これを裏返してみると、「子供」が音楽を聴く時どんなに複雑で精妙な情報処理が行われているかということに他なりません。そこで起きていることをコンピュータ上の分析に置き換えることを考えようとした途端、まず直ちにその事実に圧倒されてしまいます。 他方、記号処理のレベルでは、個別の分析に限れば（アドルノのような） 博識で怜悧な音楽学者の分析に負けず劣らずのレベルにAIが達する可能性だってないとはいえないかも知れませんが、「うたう」ことの基層の「共感」の次元、歌うこと、 聴くこと、創ること、分析することの基層にある衝動の次元は、生物としてのヒトの進化の（最大限に譲歩して、ピンカーのいうようにパンケーキに過ぎないとしても）副産物であり、まずこのレベルでAIには無縁のものです。勿論、人工生命のようなアプローチで進化の過程をシミュレートするアプローチは可能ですし、その意義を否定する訳ではありませんが。

　更に「物語る」ことについては、まずは獲得された言語との共進化の産物であり、これまた社会的・文化的進化の産物であるという側面を持ちます。更に加えて 「物語る」ことは、反射的な衝動ならぬ精緻な目的論的図式の獲得と密接に関わります。この水準においては、何のために歌うのか、何のために聴くのか、何のために分析するのか、そして究極には何のために創るのかを問うようなフレームをAIが自らの中に持たなければ、AIがそれらを「する」とは言えないことになります。「芸術」の領域においては、この違いを素通りしようとする研究は、「芸術」というものに取り組もうとしていないという点で不毛であると私は考えます。適用分野は異なりますが、詩歌や小説をＡＩに生成させる試みは古典的なテーマであり、かつ簡単なプログラムであれば作成は難しくありません。仮にそこで、ボルヘスの『伝奇集』の中の一篇、「ドン・キホーテの作者、ピエール・メナール」のように、一字一句本物とと区別がつかない作品をＡＩが生成したとして、工学的な意味合いでは合格するでしょうが、こと「芸術」に関してはそうではない。ピエール・メナールの場合であれば、彼自身が再創作をする衝動を持って自らそれを行ったわけですが、ＡＩの場合には、ＡＩのプログラムとプログラムを作った作者に分裂していると考えるべきであり、その両者を包含する「システム」全体が「芸術」に関わっていると見做さなくてはなりません。ＡＩを研究する工学者の中にはその点を意識してかせずか、敢て無視して「ＡＩには創作する意志などありません」といったことを言う人もいますが、これは一見否定的な表現を使って逃げ道を確保しつつ、ＡＩに主体性を密輸して仮託させることになっていて、控え目に言ってもミス・リーディングな言い方であり、強い抵抗感を私は感じます。一方では、そうした点を正確に踏まえて、人工生命系を用意して、その中のエージェントに嗜好を与えるところから始めてボトムアップに「芸術」の生成に至ろうとする研究の方向性もあり、こちらは大いに注目すべきであると考えます。しかし仮に人工生命的なアプローチで生物学的水準のシミュレーションができたとしても、「芸術」が成立するのは更に異なる階層の話であり、確かに生命的・生物的な基盤を持つとはいえ、その進化のプロセスの果て、もしかしたら或る種の行き止まり、袋小路であるかも知れない、マーラーのそれのようなロマン派の末端に位置付けられる音楽を「聴く」ことをシミュレーションするのは、目も眩むような企てに感じられます。「作曲することは世界の構築に他ならない」というマーラーやシュニトケの発言は、この文脈においてこそ、文字通りに受け止められるべきなのです。

　というわけで、音楽を「歌う」「聴く」「分析する」「創る」ことをAIにやらせるという構成論的アプローチは端から諦めて（それは他の若くて優秀な人々に相応しい課題でしょう）、せめて音楽が「物語る」ことを可能にするメカニズムを音響態としての楽曲の分析によって探るアプローチの方をわずかでも進めることができないだろうか、そしてあわよくば、そうした（人間が分析主体の）楽曲分析と、楽曲のデータを入力としたコンピュータを利用した分析との橋渡しができないか、というようなことを考えているような次第なのです。（2019.11.6初稿を別のブログに公開、11.10一部改訂, 12.24改訂の上、本ブログ上で再公開, 1.4加筆）

マーラー作品のありうべきデータ分析について：調性推定を巡る対話

　以下の文章は、以前に書いた記事「MIDIファイルを入力とした分析の準備」https://gustav-mahler-yojibee.blogspot.com/2019/12/midi.html に対してお寄せ頂いた分析手法に関する疑念に対する私の「応答」です。疑念は、いわゆる音楽学の立場からの極めて正当なものであり、多くの方が多少なりとも同じような疑問を抱かれていると想像されること、そして個人的には頂いた質問に対する答えを記す過程で、クラムハンスルの手法の適用のどこに私がひっかかっていたかが明確になったことから、その内容を、私なりに整理・編集した上で以下に公開します。問い・応答のいずれも元のままではなく、いわば仮想的に再構性された「対話」であることにご留意頂けますようお願いします。

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1.調性音楽は文化的な構築物であり、かつ言語のように階層的な構造を持つ。喩えてみれば、語以上のカテゴリの問題を、音素レベルで分析するようなもので、要素に還元していく自然科学的なアプローチには限界があるのではないか。

まず、誤解はないと思いますが、私もさすがに区間内の音の頻度の分布で調性が完全に説明できると考えてこの分析をやっているわけではありませんし、それはクラムハンスル自身も同じだと思います。ご指摘の点は、事実としてまさにその通りであると私も考えています。また、音楽情報処理の分野でも、自然言語のアナロジーで音楽を分析するアプローチも行われています。調性の推定に関連したところでは、例えば　Fred Lerdahl の Tonal Pitch Space, Oxford University Press, 2001　では、著者が言語学者の Jackendoff と構築したGTTM（Generative Theory of Tonal Music 生成音楽理論）に基づく分析アプローチが提案されています。

　ただし、自然言語に比べると音楽の統語論に相当するものは、遥かに自由度が大きいこと、その一方で、自然言語ではいわゆる「文」のレベルがあり、その上に「テキスト」の階層があってその区別が明確なのに対して、音楽の場合にはその区別が必ずしも明瞭ではなく、いわゆる楽式に相当するレベルについて、自然言語の単純なアナロジーが通用しなさそうな点など、類似している点がある一方で、相違点もまた大きいようです。私見ですが、言語の場合には、書き言葉と話し言葉の区別がありますが、音楽は、情報処理上の観点からすると後者に近く、更に文字言語と音声言語の区別についても後者に近いではないかと思います。

　そして実を言えば、私のように旧世代のAI研究を齧ったことがある人間が、今日の統計処理ベースのAIに対して抱くのは、まさにご指摘のような点なのです。（ちなみに付言すれば、近年のAIの得意・不得意ということがだんだんと整理されてきていて、どうやらやっぱり「言語処理は不得意」という、至極まっとうな結論が共通認識になりつつあるようで、ある意味ほっとしています。そしてその理由を突き詰めれば、ご指摘のような性質が、現在注目を浴びている手法に適していないということに繋がります。）

　ですから、これでマーラーの作品が分析できた、とは全く思っていません。対象を調性の推定に限定しても、ここでやっている処理は、人間のやっていることのほんの一部だけを取り出していることは明らかですし、得られた成果はと言えば、分析のための素材が一つ手に入ったくらいにしか考えていません。あくまでも分析の準備であって、分析そのものはこの先にあるものと思っています。
　
　あえてオリジナルな改良とかをせずにクラムハンスルのアルゴリズムをそのまま用いたのは、それなりに知られたもののようなので、それをマーラーの楽曲に適用したことが（他に既に行われていれば全く価値がなくなりますが）、一般的な資料としての価値を持つのでは、というような発想によります。もう一つ言えば、この手法は非常にシンプルですから、或る要素だけでどこまで行けるかということを、これまたマーラーのケースについて確認することに意味があるのではなかろうかと考えた次第です。

2.調性音楽の階層的な構造やその構造に基づく規則は、聴き手にも共有されており、それを前提にしてはじめて暗示とアイロニーのようなものが成立する。そうした前提なしに、音楽が多義的であったり曖昧であったりといった側面を捉えることはできないのではないか？

こちらもご指摘の通りだと思います。但し、ルールの共有の程度は様々だと考えます。作曲者や優れた音楽学者と経験のない子供では差があって、私のような、マーラーを聴いた回数だけは多くても、きちんとした楽理の教育・訓練を受けていない聴き手は、更にまたちょっと違うかも知れません。そして私は、どちらかといえば、子供の立場で眺めたいと思っていることは、既に別に記載した通りです。無意識にルールを学習可能、ないし、或る程度学習しているけど、ルールを「理解」できているわけではない聴き手にとってどう聴こえるのか、自分がマーラーの作品の調的過程をどう感じ取っているのかの近似値のようなものを取り出せないか、と思っています。上掲の Lerdahl の分析とかもそうですが、多くの分析は、楽典の知識を前提とし、例えばある区間の調的文脈が別途分析によってわかっているものとして（つまり推定の入力として）いる場合が多いように思います。しかし或る意味では楽典の知識を駆使した分析は、ここで想定している現象学的な問題設定に対しては、先回りしていることになるように私には思われます。またこのことは、創作の水準での分析か、聴取の水準での分析か、ということにも関わると思います。例えば、Timoczkoは、自分の理論が創作の側の理論であることを明確に述べています。しかしここでの関心は、聴取の水準なのです。従って、理論はできるだけ前提としないで、聴こえる音のみから分析するというのが（現実には完全にそうであることは不可能にしても）、理念的な原則となります。

（もっとも、実際問題としては、楽典の知識を全体とした分析をやろうとしたら、私の能力では、余りに手間のかかる作業となって、ちっとも結果が出ないことになりそうですし、マーラーという特殊な事例研究でなければ、実はＡＩの分野では、既に半世紀前に、非常に有名なウィノグラードの研究があって、楽典の知識を総動員したらどこまでやれるかについては、既に、最初の段階で天才がやりつくしてしまっているというのもありますが。）

　上記を踏まえた上で、マーラーに関して、クラムハンスルの調的階層を用いて調性推定をやることの意味に戻りますと、以下のようになると考えます。

　まず、クラムハンスルの調的階層というのは、ある意味ではどっちつかずのものだと考えます。つまり、ある意味では、還元・再合成という操作でありながら、それをやる際に
認知心理学的な実験の結果に依拠するので、ある文化的な構築物のルールをある程度共有している平均的な「聴き手」を想定していることになります。これは科学的アプローチを文化という名の「予見」を排したアプローチと捉え、人文系的な文化的な構築物についての知識（＝解釈学的には「前了解」とされるもの）を前提としたアプローチとの対立を厳密なものと捉える観点からは、科学的アプローチの中に人文学的アプローチを（統計情報という形でですが）いわば「密輸」しているとも言えるかと思います。

　科学的アプローチで行くなら、そうした「密輸」はやらないで、とことん予見を排したアプローチをすべきであり、調性の推定を、例えば音響に関する法則のような、文化非依存のものだけに依拠してやればいいのですが、私はそもそも音楽というのは物理法則のようなものではなく、文化的な構築物だと思っているので、それには原理的な限界があると思っています。（何しろ、意識のような一般的にはそうでないと思われているものについても、ある程度は文化的・社会的な構築物であると思っているくらいですので…）従って、科学的な還元主義的な発想からは循環に見えても、それは事柄の性質上、寧ろ当然だと考えています。（これも「補遺への追記」に記載した通りです。）まさに解釈学的な事柄に付きまとう循環だと思います。

　「マーラー作品のありうべきデータ分析について：補遺への追記」（https://gustav-mahler-yojibee.blogspot.com/2019/12/blog-post_12.html）の中で検討したのもまさに上記の点で、実はその点が明確になっていないと感じて、公開後に追記を行っていますが、それよりも、替りにその末尾を以下に自己引用することで、私の立場の再確認をしたく思います。

「データに基づく分析をやろうとすると、優れた音楽家や音楽学者でない、平均的な聴き手が無意識に行っている情報処理ですら、その複雑さに圧倒されてしまいます。更に言えば、（それ自体が優れた研究者が苦心の上に編み出したものであって、そこでの捨象の操作の背後にある情報量の大きさに留意するのは勿論ではありますが、その一方で）認知心理学実験で用いられるような単純化されたものではないマーラーの作品のようなものを「聴く」時に背後で起きている情報処理のプロセスの複雑さは、途方もないものだし、そのプロセスを支えているシステムの複雑さ、生物としての、社会的存在としての、美的主体としてといった階層の深さには目眩さえ感じます。ましてや優れた音楽家や音楽学者が直観的に掴み取る、ある作品の特徴を機械に取りださせるというのは途方もない企てに感られます。（そういうことからも、AIと音楽との関係におけるチューリングテストは、人間が聴いてそれっぽい音響を自動生成することがでるかどうかといったレベルにはなく、音楽を聴いて、それに感動したり共感したりすること、その感動や共感について分析できることのレベルにあるのではと思えてならないのです。）その全てを踏破することなど思いも及ばぬことですが、それでもなお、そうした企てへの第一歩と呼べるようなものでなくても、そうした歩みへのせめて呼び水となることを願って、今後も少しずつ手を動かして、その結果を公開していきたいと考えているような次第です。」

　更に言えば、データに基づく分析というのは、あくまでも「ここでの」立場に過ぎず、それが私の通常の聴取の態度というわけではありません。実のところ、私は常にはもっと「情緒的」に、或いは「生理的」に、精神的なバランスをとるための或る種の「治癒」として音楽に接しているような気がします。何しろ私の場合には、色が見えたり、風景が見えたり、臭いや湿度を感じたりといった「クオリア」の印象が圧倒的です。この点では、残念ながら、アドルノの『音楽社会学』における聴取の類型論上、あまり褒められた類型には属さない、結局のところ創作者や知識ある分析者の立場では聴いていない自分の聴き方を確認したいということなのかも知れません。

　ただ、マーラーに関して言えば、伝統的な図式では説明できない側面があり、アドルノがDurchbruch / Suspension / Erfuellung といった類概念を持ち出し、自ら「小説」に類比した独自の時間的構造にアプローチしようとしているという消息もあり、伝統的な楽曲分析とは違った分析のツールが必要ではないかと感じていることは、これまで繰り返し記述している通りです。まだまだ先は長いとはいえ、そうしたアプローチの一つとして、データに基づく分析というのを位置付けているという点も付言したく思います。つまり、調性音楽の理論があまりに高度に完成され、合理的にできているが故に、その末期に出現した（かつては病的と言われることもあった）マーラーのような事例に接するためには、一旦遠回りをしなくては見えて来ないものがあるのではないか？というように思うのです。

　最後に、音楽理論にしても伝統的な調性音楽の聴き手の統計的平均像にしても、それ自体抽象物には違いありません。しかも科学的に要素から組み上げられたものではありません。寧ろ、ブリコラージュの過程で少しずつ理論化されたものと考えた方がいいように思います。そして別の文化的社会的文脈では、別の音楽があり、やはり理論があって聴き手がいます。ガムランは、倍音列について「合理的」なアプローチをしない、結果として完全五度音程を基礎としない稀なシステムを持っているようですが、それさえも、異なる伝統に属する人間にとって（誤解はあるかも知れませんが、ある程度は）、理解不能ではなく、「音楽」として「了解可能」です。そういった点を踏まえ、自分がそもそも100年後の地球の反対側、「仮象」たる「中国」の更に向こう側に棲んでいる子供としてマーラーに出遭い、（実はこちらの方が時間的には後なのですが）能楽のようなものにも継続的に接し、更には「トータルセリー以後の音楽」に接しつつも、今なおマーラーを聴いていることを思えば、完全には無理でも、せめて異文化接触という現実の状況に即して、できるだけ調性音楽固有の文脈や内部の論理に依存しない形でマーラーの作品を眺めてみたいというのもあります。近年しばしば「ビッグデータ」の時代ということが言われますが、或る意味では「ビッグデータ」に蚕食された世界に生きる者ならではの発想で、（何なら、その「症例」の一つとして、）こういう分析が、それとは最も隔たっていると通常は考えられているマーラーの音楽のような対象に対して行われる、ということでもいいように感じています。

要約すると、ご指摘の点について異論がないにも関わらず、なぜあえてデータ分析のようなことをやるのかと言えば、

• 理論の知識なしで何が聴こえるのかをシミュレートしたい
• 規範的な理論からは逸脱と見做される現象の背後にある論理を捉えたい
• 文化的文脈の外部を意識して、文脈依存性の少ない見方をしたい

ということになるでしょう。そして得られたものは分析そのものではなく、あくまでも分析のための素材である。ということになるでしょうか？

3.調性音楽の意味は時間の中で開示されていくものであり、ここで実施されたような計量的な分析は、多かれ少なかれ時間プロセスを捨象したものではないか。

このご指摘は非常に重要な点かと思います。何しろもともと、これら一連の検討・分析は、その出発点を記した記事、「MIDIファイルを入力としたマーラー作品の五度圏上での重心遷移計算について」（https://gustav-mahler-yojibee.blogspot.com/2019/09/midi.html）でその目論見を記載した通り、時間性の分析をするのが最終目的ですので。実際の分析が懸念に十分にお応えできているかは議論の余地があるかと思いますが、この点は今回の分析では、それなりには配慮したつもりです。

　今回の分析では、拍内で鳴る音については鳴る順序はつぶれてしまい、持続（音価）のみを扱い、或る拍が「何調」に聞こえる、というのを平均的な聴き手の判定の情報を基にして計算します。従って、この点ではご懸念の通りではあります。一方で、次の拍では、一つ前の拍と現在の拍の2区間の情報で計算をします。そしてこうした時間の推移による情報の累積を1小節の区切り迄やります。次の小節に入ると、前の小節の情報は忘れて、同じことを、曲の終わりまで繰り返します。結果的に、小節単位にその小節は「何調」に聞こえるか、というのを順番に求めていることになります。小節内でも前の拍で鳴った音も含めての分析となっていますし、クラムハンスル自身の実験とは異なって、小節毎の推定を、一貫した調性に基づいた作品の冒頭についてのみ行ってその曲の調性を推定する目的で行うのではなく、発展的調性を持つ、曲頭と曲尾が必ずしも同じ調性でない作品の全体に対して行うことで、調的な中心の軌道や、その安定性の変化をトレースしてみようという目的で行っています。推定に用いる情報をローカル（ここでは小節単位）なものに限定しているのは、調性音楽の中でも古典的な作品を範例とした分析ではしばしば前提とされる大域的な調性の枠組みの前提を、ここでは一旦外したかったというのもあります。

　勿論、より多くの情報を見るように、或いは区間内でどういう順番で音が鳴っているのかも見るように、など、色々と改善の方向は考えられますし、区間についても機械的に1小節で区切るのではなく、もっと意味のある単位で、或る時には1拍が単位になり、或る時には数小節が単位になるように区間を適切に変えてやるべきなのでしょうが、これはまた別の問題を解くことになります。即ち、それを機械にやらせるときに、外から「区切りはここ」というのを別途教えるのではなく、入力として受け取った音の情報だけから、自動的に区切りを見つけて、その区間で調性を判定させるようにするにはどうしたら良いか、という問題を解かなくてはなりません。

　というわけで前途遼遠、課題は山積ですが、とにかく最初は機械的にやってみたらこうなりました、というのを公開したということになります。

　なお、この「外から教えない」で「データに基づいて判定させる」という点が一つポイントと考えています。とはいえ、小節の区切りは偶々MIDIデータに含まれていることになっていて使っていいことにしていますが、音響データならそんなものはありません。MIDIの情報というのは12音平均律前提でキーナンバーが振られていることから始まって、ある程度の「フレーム」の下で出来ているわけで、厳密に言えば、「密輸」も程度問題ということになります。例えば調号だってMIDIデータに含めることが出来ます、入っていれば使っても言い訳ですが、こちらは逆に使っていません。調号通りに調が変わるわけではないから、というのもありますが、実際にはほとんどのMIDIデータで調号の情報はまともに入っていない、という現実がある、というのも大きいです。ともかく、でもできるだけMIDIノートの音高と持続の情報だけでやる。小節の区切りは、必ずしも意味の区切りではないので、最後は使わずに済ませたいですが、機械的に簡単に実験するために、手始めとして利用しているとお考えいただければと思います。）

4.例えば、中心音ということでも、単一の音、2つの音が鳴った時点ではそれは明確ではなかったのが、時間的経過の中で新たに出現する音により、徐々に明確化されるということが起きたり、中心音が常に鳴っている、実際に鳴る音はその周囲を旋回するだけ、といった事態はごく普通に起きるが、実際に鳴っている音のデータに基づく分析で、こうした事態を扱えるのか。

　この点も前の点と並んで個人的に重視したい点です。これは特に「マーラー作品のありうべきデータ分析についての予想：発展的調性を力学系として扱うことに向けて」( https://gustav-mahler-yojibee.blogspot.com/2019/11/blog-post_10.html )の後半に書いたことですが、まさに調性が曖昧になったり、潜在的に複数の選択肢があったり、という状況をデータ処理で浮かび上がらせられるような枠組みを探索しています。

　今回のやり方では、（一応、一番相関が高い調性に色をつけてみましたが）、区間ごとに、各調性との相関の推定値を求めています。あるところでは、相関の最大が0.5くらいで、しかも2つの調で同じくらいだとしたら、或る種の宙づりがそこで起きている可能性がある、という具合で、一応、数字によって曖昧さや多義性を扱おうとしています。

　繰り返しになりますが、調的推定は極めて複雑な過程なので、このデータ処理だけで十分ということはなく、例えば別途、和音（和声ではなく音の部分集合、ピッチセットですが、転回形の情報も付けることができます）を取り出すプログラムも作ったので、それと今回のデータを組み合わせれば、上に例示頂いたようなことがデータで語れないか、というように考えています。(2019.12.22公開)