1.はじめに
これまで何回かに亘って、状態遷移の集計方法の検討を行い、検討内容に基づいた集計結果を公開してきました。状態遷移パターンについては今回初めて集計を行ったので、従来やってきた和音（といっても機能和声理論上のものではなく、寧ろピッチクラスセット上で定義される集合ですが）の出現頻度と異なって、土地勘のようなものが全くありません。そこで今後の分析のための予備作業として、集計した状態遷移パターンについて、個別のパターンに踏み込んだ分析を行う前に、記事MIDIファイルを入力とした分析の準備(3)：状態遷移の集計手法の検討と集計結果の公開、MIDIファイルを入力とした分析の準備(4)：状態遷移の集計結果の公開（続き）およびMIDIファイルを入力とした分析の準備(6)：状態遷移の集計結果の公開（補遺その2）において「和音・状態遷移パターン種別」として報告・公開しているデータを用いて状態遷移パターンの異なり数について確認してみたところ、マーラーの作品に関して興味深い特徴があるように思われたので、簡単な分析を行ってみました。以下でその内容を報告します。
2.本分析の背景
「和音・状態遷移パターン種別」として公開しているデータにおいては、これまで集計・公開してきた複数の条件による状態遷移パターンの抽出結果について、遷移パターンの抽出対象となる和音の総数、和音の種類数（状態遷移パターンとしては深さ＝0に相当）、深さ1～5までの状態遷移パターン数を集計しています。
一般にパターン数は、対象となる和音の総数に相対的なものと考えられます。つまり短く小節数が少なく、拍数もまた少ない作品では、同じ複雑さであればパターン数は少なく、大規模になればパターン数が増加するものと考えられます。但しそれでは際限なく拍数を増やしていけばパターン数も比例して増加し続けるかと言えば、ここで対象としているタイプの音楽作品の場合にはそうではなく、同じパターンの繰り返しの割合が増えていくものと想定されます。一方で、反復繰り返しを多く含む作品の場合には、同じ拍数で出現するパターンの数はその程度に応じて少なくなるものと予想されます。このことは、分析の入力として使わせて頂いているMIDIの作り方に、ここで注目しているパターン数が影響を受けることもまた、意味しています。演奏においてもしばしばそうですが、特に古典派の作品の場合、ソナタ形式の楽章の提示部やメヌエットやスケルツォ楽章におけるDa Capoが典型的なように、リピート記号に忠実に繰り返すか省略するかについての選択には任意性がありますが、ここで注目している特徴量はその選択の影響を受けることになります。マーラーの場合に限れば、リピートが問題になるケースというのはあまりなく、第1交響曲第1楽章、第6交響曲第1楽章のソナタ提示部の繰り返しくらいでしょうか？（未完成作品まで含めれば、第10交響曲第3楽章のDa Capoが思いつきますが、これは文字通りの反復を嫌ったマーラー「らしくない」との嫌疑がかけられたりもして物議を醸してきた部分でもあります。更には第5交響曲第2楽章のごく初期の出版譜では提示部に反復記号があるのですが、この稿態が採用されることはまずないでしょう。）更に言えば、上記のような事情を踏まえると、仮に割合が同じだとしても規模が大きく異なる作品間の割合の比較には色々な意味で慎重さが要求されるということでもあると思います。また同様に、個別の作品（各交響曲）と作品全体（交響曲全て）の比較についても注意が必要です。各曲毎にその内部は多様性に富んでいても、「同じような」作品を繰り返し書けば、作品全体としてみれば反復が生じていることになり、単純な各曲における割合の平均にはならず、割合が下がることも考えられるからです。
こうした事情を勘案すると、マーラーの作品についてはパターン数は多く、多様性に富んでいることが想像されるわけですが、実際にデータを眺めてみると、特に深さが増していくにつれてその傾向が極端になり、深さ4,5のパターンとなると、作品と抽出条件によっては複数回使用されるパターンがほんの僅かしかないことがわかります。特に最後に補遺2で追加した抽出条件のうち、転回形も五度圏上の位置の違いも区別する条件(trans_inではその傾向が著しく、繰り返し用いられるパターンに注目するようなデータ分析が実質的に無意味になってしまいかねない程です。（エントロピーという観点では限りなく1に近づいているということになります。）ここで対象にしているのが和音のパターンであるため、単独の和音パターンの種類数でも100を超えます。状態遷移パターンは最も単純な条件でも、深さをnとすれば和音パターン数のn+1乗の組み合わせが理論的には可能です。実際には深さ2くらいのレベルでは対象となっている拍の総数よりも遥かに小さいパターン数になりますが、深さが深くなるにつれてパターン数は増大していきます。深さ4,5になれば前の状態の理論的な組み合わせは天文学的な数字になるため、実質的は総拍数が上限となります。そこで多様性を測る最も簡単な尺度として、パターンの異なり数が総拍数にどこまで近づくか、という点に注目するやり方が考えられます。本分析では、まずはこの観点からデータを眺めて簡易的な分析をすることにします。
本分析では、比較的区別が緩い抽出パターンとして、転回は区別せず、五度圏上の位置についても、状態遷移における移動の仕方が同じであれば同一のパターンと看做す条件(default)を用いて分析を行うことにします。
以下は公開済のパターンの種類数の集計結果を元に、状態遷移パターンについては抽出対象とした三和音以上の和音の総数に対するパターンの種類数の割合を計算し、抽出対象とした三和音以上の和音の総数については、総拍数（休符や単音、重音の箇所も含む）に対する割合を計算した結果を示したものです。割合が1の時、全ての対象和音について全て異なった状態遷移パターンであり、繰り返し利用されるパターンが無いことを意味します。
ここで割合が1に近いものを視覚的に読み取れるように、0.8以上、0.9以上、0.95以上、0.99以上について、それぞれ異なる背景色をつけてみました。
- マーラー(mahler)：第1～10交響曲、大地の歌(m1～10, erde)
- ブラームス(brahms)：第1,2,3,4交響曲(jb1,2,3,4)
- ブルックナー(bruckner)：第5,7,8,9交響曲,第9交響曲フィナーレ断片つき(ab5,7,8,9,9f)
- フランク(franck)：交響的変奏曲、交響曲 (cfVar, cfSym)
- ラヴェル(ravel)：左手のための協奏曲、ピアノ協奏曲ト調、高雅で感傷的な円舞曲、ダフニスとクロエ第2組曲 (mr_leftpc, mr_pc, mr_vns, mr_dcl)
- シベリウス(sibelius)：第2,7交響曲、タピオラ (js2,7, jsTapiola)
- タクタキシヴィリ(taktakishvili)：ピアノ協奏曲第1番 (ot)
- ヤナーチェク(janacek)：シンフォニエッタ (lj)
- ドヴォルザーク(dvorak)：第7,8,9交響曲 (dv7,8,9)
- スメタナ(smetana)：我が祖国 (bs)
- カール・シュターミッツ(stamitz)：クラリネット協奏曲第3番、第10番、2本のクラリネットと管弦楽のための協奏曲、フルート協奏曲ト長調作品29,、 ヴィオラ協奏曲ニ長調作品1 (st3cl, st10cl, stdpcl, stfscgd, stt_vacon)
- ゼレンカ(zelenka)：聖セシリアのミサ、 聖霊のミサ、信仰のミサ、慈善のミサ、ミゼレーレニ短調 (zwv1, 4, 6, 10, 56)
3.分析条件
上記のような検討から、従来、和音の出現頻度に対して適用した統計分析を状態遷移パターンにも適用することとし、以下のようにレイアウトした分析を行うことにしました。
対象とするデータ：上記の検討において検討の対象としたデータには、状態遷移パターン抽出の対象である三和音以上の拍数に対する状態遷移パターンの異なり数の割合とともに、総拍数と三和音以上の拍数（＝状態遷移パターン抽出の対象）の割合についての集計も含まれていましたが、これは意味的にはテクスチュアの厚みに関わる特徴量と捉えることができ、反復／多様性に関する特徴量である状態遷移パターンの異なり数とは意味的に異質の情報であると考えられます。そこで以下の分析においては、総拍数と三和音以上の拍数（＝状態遷移パターン抽出の対象）の割合については分析対象から除外しました。状態遷移パターンについては深さ0（単独の和音に相当）～深さ5まで全てを用いました。
分析手法：従来和音の出現頻度の分析で用いたのと同じ、階層的クラスタ分析、非階層的クラスタ分析、主成分分析を行いました。階層的クラスタ分析としては、今回はcomplete法とward法の2種類、非階層クラスタ分析はk-means法を用い、Gap統計量に基づいてクラスタ数を指定しました。主成分分析に際しては、今回対象とする特徴量は全て同じ種類であり、かつ最大値1という点でも揃っていますが、状態遷移の深さが増すと増大する性質を持つため、標準化を行わないと深さの大きいパターンの寄与が大きくなってしまうことが予め予想されたため、標準化を行うモードで分析を行いました。
分析対象のデータ：上述の通り、前回の実験と同じ作曲家の同じ作品に加えて、古典期とバロックの作品の例としてシュターミッツとゼレンカの作品を加えた以下のデータセットについて集計・分析を行うことにしました。（括弧内は以下に示す分析結果におけるラベルを表します。）集計・分析は基本的には曲単位で行いました。
- マーラー(mahler)：第1～10交響曲、大地の歌(m1～10, erde)
- ブラームス(brahms)：第1,2,3,4交響曲(jb1,2,3,4)
- ブルックナー(bruckner)：第5,7,8,9交響曲,第9交響曲フィナーレ断片つき(ab5,7,8,9,9f)
- フランク(franck)：交響的変奏曲、交響曲 (cfsymvar, cfsym)
- ラヴェル(ravel)：左手のための協奏曲、ピアノ協奏曲ト調、優雅で感傷的な円舞曲、ダフニスとクロエ第2組曲 (mr_leftpc, mr_pc, mr_vns, mr_dcl)
- シベリウス(sibelius)：第2,7交響曲、タピオラ (js2,7, jsTapiola)
- タクタキシヴィリ(taktakishvili)：ピアノ協奏曲第1番 (ot)
- ヤナーチェク(janacek)：シンフォニエッタ (lj)
- ドヴォルザーク(dvorak)：第7,8,9交響曲 (dv7,8,9)
- スメタナ(smetana)：我が祖国 (bs)
- カール・シュターミッツ(stamitz)：クラリネット協奏曲第3番、第10番、2本のクラリネットと管弦楽のための協奏曲、フルート協奏曲ト長調作品29,、 ヴィオラ協奏曲ニ長調作品1 (st3cl, st10cl, stdpcl, stfscgd, stt_vacon)
- ゼレンカ(zelenka)：聖セシリアのミサ、 聖霊のミサ、信仰のミサ、慈善のミサ、ミゼレーレニ短調 (zwv1, 4, 6, 10, 56)
4.分析結果
(A)マーラーの交響曲間の比較
2つの階層クラスタ分析の結果は同一となり、大地の歌、第9,10交響曲の後期3作品とそれ以前の作品で大きく2つに分かれ、それ以前の作品は更に、ソナタ楽章の提示部反復を含む第1、第6交響曲がまず分かれ、残りが更に第2,3,8交響曲と第4,5,7交響曲に分かれる結果となりました。
上記を踏まえて、各主成分の得点と負荷を確認してみます。
まず得点ですが、第１主成分では大まかな傾向として、＋方向の初期、ほぼ0に近い中期と－方向の後期という対照が見られるように思います。但し、第1、第6交響曲はソナタ提示部の反復などから点数が高くなっている点を考慮にいれるべきかと思われます。第2主成分については、第1、6と後期のグループ（＋）と第2～5、第7、第8のグループ（－）とに分かれていることが確認できます。割合が小さいため得点の絶対値が小さくなってしまっていますが、第3主成分は、－方向の初期、＋方向の中期に対し、後期は作品によってばらつくもののほぼ0に近いと捉えることができそうです。
一方負荷を見ると、第1主成分は、深さによらず状態遷移パターンの多様性が低いものの得点が高くなることがわかります。第2主成分は状態遷移パターンの深さ0から5に向けて負荷が＋から－に変化しており、深さが浅いパターンの多様性が大きく、深さが深いパターンの多様性が小さければ得点が高くなることが読み取れます。つまり単純な和音単独の多様性や（前、後）という短い状態遷移パターンでより多様性が大きく、深さが増す（つまり状態遷移パターンの系列の長さが長くなる）に従って多様性が相対的には限定される傾向にあると点数が高くなるということで、多様性が局所的（浅い）なのか、大域的（深い）なのかに関わっているように思います。そしてこのパターンに当て嵌まるのが第1、6と後期のグループであり、第2～5、第7、第8のグループはこれに当て嵌まらない、言い換えれば和音のパターンや浅い部分の状態遷移パターンはそうでもないが、深くなると急激に多様性が増す傾向があることになります。それに対して第3主成分は同様にして、和音単独と深いパターンで多様性が低く、浅いパターンについて多様性が高いものの得点が高くなることが窺えます。
第1主成分得点
第2主成分得点
第1主成分負荷
第2主成分負荷
第3主成分負荷
(B)マーラーと他の作曲家の作品間の比較
続けてマーラーの交響曲と他の作曲家の作品の比較結果を見ていきます。
最初は階層クラスタ分析です。complete法の結果とward法の結果には細かいところでは差異がありますが、大きく、マーラーが含まれるグループとマーラーが含まれないグループに分かれている点、マーラーが含まれるグループには、フランク、シベリウス、ラヴェル（左手のための協奏曲除く）、タクタキシヴィリが含まれる点は共通しています。ドヴォルザークは第7交響曲のみマーラーが含まれるグループに含まれています。
そこで主成分得点、主成分負荷について確認すると、第1主成分負荷については、マーラー作品間の分析における第1主成分負荷と正負が逆転しているものの、ほぼ同様の傾向を示しており、特に状態遷移パターンが多様性に富んでいることを示しています。第1主成分得点について見ても、マーラーの作品の部分だけ見ると（正負は逆ですが）同じように後期作品になるとパターンの多様性が大きくなるという明確な傾向が見られます。ただし他の作曲家の作品との比較では、マーラーの作品全体が相対的に多様性が大きいため全てが正の得点を持ち、ブルックナー、ブラームス、シュターミッツ、ドヴォルザーク第8、第9、ヤナーチェクが負の得点を持つのと対照を示しています。
第2主成分負荷について見ると、こちらもマーラー作品間の分析における第2主成分と似た傾向を持ち（ただし正負の向きは逆）、単独の和音のパターンを深さ＝0の状態遷移パターンと見做すならば、状態遷移パターン多様性が、深さが深くなるにつれて増している場合に得点が高くなります。興味深いことに、第2主成分得点について見ると、第1主成分得点では同様の傾向を示していたマーラーとラヴェル、シベリウスの傾向がわかれ、マーラーは正の得点を持つのに対して、ラヴェルとシベリウスは大まかには負の得点を持っており、第1・第2主成分の組み合わせによって特徴づけることができそうです。即ち、
- 全般に多様・深い程多様：マーラー（特に初期・中期）
- 全般に多様・浅い方が多様：ラヴェル・シベリウス
という傾向が取り出せそうです。ただしマーラーについては、マーラーの作品間の分析でもその傾向が確認できたように、和音のパターンや状態遷移パターンの浅い部分が単純で、深くなると急激に多様性が増す初期・中期と、そうした傾向が強くは現れない後期の作品に明確に分かれていることも確認できます。シベリウスやラヴェルは、用いられている和音の種類は豊富で多様性に富みますが、状態遷移パターンが深くなる（より長い系列に注目する）とマーラーと比べた場合には、それほど多様性が増すわけではないことが確認できます。
更に第3主成分について見ると、これも正負の逆転があるのでその点を考慮すると、細かい部分では差異があるもののマーラーの作品間の分析での第3主成分と大まかには似た傾向を示していることがわかります。つまり、単独の和音の多様性と状態遷移パターンの多様性を区別してみたときに、和音も多様で状態遷移パターンの深いところが多様な作品が正の得点を持ち、逆に和音の多様性よりも状態遷移パターンの浅いところの多様性が大きい作品は負の値と持つことになります。割合が3%と小さいため、得点の絶対値は小さなものですが、第3主成分方向に作曲家を分類すれば、大まかには以下のようになりそうです。
- 和音も多様で状態遷移パターンの深いところが多様：シベリウス、ラヴェル、ゼレンカ、シュターミッツなど
- 和音の多様性よりも状態遷移パターンの浅いところの多様性が大：マーラー、ブルックナー、ドヴォルザークなど
第1主成分得点
第2主成分得点
第1主成分負荷
第2主成分負荷
5.まとめ
- 第1主成分：全般的な多様性（＋：多様／－：多様でない）
- 第2主成分：状態遷移の深さと多様性の関係（＋：深さに応じて多様性拡大／－：和音は多様だが、深くなっても多様性拡大せず）
- 第3主成分：和音の多様性と状態遷移の多様性の関係（＋：和音が多様で、深い状態性も多様／－：状態遷移の深さの浅い部分の多様性が大きい）
- 全般的な多様性：後期になると多様性が増大する傾向がある。
- 状態遷移の深さと多様性の関係：第1、第6交響曲と後期作品は和音のパターンや浅い状態遷移パターンが多様であり、状態遷移パターンが深くなっても多様性が更に拡大することはないのに対して、その他の交響曲では深くなると多様性急激に拡大する傾向にある。ただし全般的な多様性との関係から、第1、第6では大規模な反復が存在するせいで深くなっても多様性が拡大しないのに対し、後期は既に和音のパターンや浅い状態遷移パターンで大きな多様性を示してしまっているために、深くなってもそれ以上多様性が拡大する余地がないのであって、第1、第6とは理由が異なる。
- 和音の多様性と状態遷移の多様性の関係：初期は和音が多様で、深い状態性も多様なのに対し、中期は状態遷移の深さの浅い部分の多様性が相対的に大きい。
