本稿は公開済みの概要紹介記事（マーラー編・比較編）の技術的補足として、指標の定義・PCA成分負荷・主要数値結果を詳述する。
1. 分析対象と方針
分析は二段階で構成した。第一段階はMahler交響曲11作品を対象とした単独分析であり、第二段階はBruckner・Sibelius・Brahms・Shostakovich・古典派参照点を加えた全25作品・26楽章への拡張比較分析である。第二段階はMahlerの指標的特性が作曲家間の分散構造の中でどのように位置づけられるかを検討することを目的とし、第一段階の結果を前提として解釈する。
各作品の第一楽章（または相当する代表楽章）のMIDIデータを使用した。分析にはピッチクラス情報のみを用い、ダイナミクス・テンポ情報は含めない。
各作品から取り上げる楽章については、ソナタ楽章ないしそれに準拠した構造を持つ主要楽章（Hauptsatz）を原則として選択した。これは方法論上の消極的な制約ではなく積極的な選択である。中間楽章には性格・構造を異にする楽章（スケルツォ・緩徐楽章・行進曲など）が含まれる一方、Mahlerの場合は楽章数も作品ごとに大きく異なり、各作品の楽章構成の個別性が高い。様式変遷の縦断的把握および作曲家間の横断的比較においては、同一の構造的役割を担う楽章を揃える方が指標の比較可能性が高いと判断した。なお第5番はI楽章は実質序奏が独立した葬送行進曲であり、主要楽章はII楽章であるためII楽章を、第6番はI楽章のみならず、マーラー的なソナタ形式の典型とされるIV楽章も含め、双方を対象とした。
分析対象一覧
2. 指標の定義
MIDIデータを小節単位で集計し、各小節頭の発音音符からピッチクラス分布を算出した。三和音以上の部分のみを対象として、五度圏上の座標に投影し、重心位置 $\mathbf{c}(t)$ を求めた。この重心時系列から以下の9指標を算出しPCAに入力した。
Avg_r（平均重心半径）：重心径 $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ の平均値。調性的安定度（重力）。
Avg_Step（平均ステップ幅）：隣接データ点間の位相角の変化量（角速度 $\omega$）の平均。転調の歩幅。
Step_Rate_100（100小節あたりステップ量）：100小節あたりの累積移動距離（弧長）。和声的活動量。
SD_r（重心半径の標準偏差）：$r$ の標準偏差。重力の揺らぎ。
Tonal_Focus（調的集中度）：全軌跡の平均座標の原点からの距離。調性的焦点。
Harmonic_Coverage（和音被覆率）：(三和音以上の有効小節数) / (楽譜上の全小節数)。テクスチュアの厚み。
Spatial_Dispersion（空間分散）：重心位置の時系列的な分散。五度圏上での活動領域の広さ。空間的分散度。
Texture_Volatility（テクスチュア揺らぎ）：各小節で使用されるPitch Class（PC）数の標準偏差。テクスチャの流動性。
PC_Density（ピッチクラス密度）：各小節で使用されるPitch Class（PC）数の平均（三和音以上）。和声の複雑さ。
なおWinding_Rate_100（五度圏上の正味回転速度）およびTerz_Ratio（三度進行比率）も算出したが、PCA入力には含めず補助的指標として扱う。
3. Mahler単独分析
3.1 指標の計算結果
3.2 寄与率および成分負荷
PC2はHarmonic_Coverage（+0.984）とTexture_Volatility（−0.758）が主要な負荷を担う。正方向は「音高クラスを広く被覆しながらテクスチュアの厚みが安定している」状態、負方向は「音高被覆が狭くテクスチュア揺らぎが大きい」状態に対応する。
3.3 時系列的変化
PC1は作曲年代とほぼ単調増加の傾向を示す（Sym. 1: −4.478 → Sym. 10: +3.531）。主要な寄与因子はAvg_Stepの増大（25.04→63.45）とAvg_rの減少（0.616→0.493）である。
PC2は山型の推移を示す。初期作品（Sym. 1〜3）は負方向（Harmonic_Coverage低・Texture_Volatility高）に位置し、中期純器楽作品（Sym. 5〜7）および声楽付き作品（Sym. 8・大地の歌）がHarmonic_Coverageの増大とTexture_Volatilityの安定に伴い正方向へ移行する。後期（Sym. 9・10）では再び負方向に転じ（各−1.439・−1.588）、Harmonic_Coverageの低下（0.688・0.630）とTexture_Volatilityの急増（1.377・1.639）が組み合わさる。PC1とPC2を重ね合わせると、PCA空間上での軌跡はℓ字型（初期：左下 → 中期：右上 → 後期：右下）を描く。
4. 比較分析（全24作品・26楽章）
4.1 指標の計算結果
4.2 寄与率および成分負荷
全24作品・26楽章のPCAでは、第一主成分(PC1)の寄与率45.5%・第二主成分(PC2)が24.0%（累積69.5%）であった。
PC1の負荷構造はMahler単独分析と概ね一致しており（Avg_Step・Step_Rate_100の強正負荷、Avg_r・Tonal_Focusの強負負荷）、「調性的求心力——拡散」の次元がMahler内部においても作曲家間比較においても安定して第一の変動軸として現れることを示している。
PC2の負荷構造は単独分析と大きく異なる。Mahler単独ではHarmonic_Coverage（+0.984）とTexture_Volatility（−0.758）がPC2を主導したのに対し、全体分析ではSpatial_Dispersion（+0.778）とHarmonic_Coverage（−0.732）が主要負荷となる。特にHarmonic_CoverageとSpatial_Dispersionの符号が逆転している点が注目される。以下にPC2負荷の対照を示す。
この負荷構造の変化は、Mahler内部での第二の変動軸（音高被覆の広さとテクスチュア安定性の対比）と、作曲家間比較での第二の弁別軸（五度圏上の空間的分散様式）とが異なる音楽的次元を捉えていることを示す。前者はMahlerの様式的発展の内部的な変容パターンを、後者はBrucknerとSibeliusという対照的な様式（広域分散 vs 高密度被覆）の間でMahlerを位置づける軸として機能している。両者を同一視することなく別個に解釈することが必要である。
4.3 グループ別PCAスコアと指標平均
（PC1・PC2はグループ内スコア平均。指標値は生データのグループ内平均。）
Haydn・MozartはTonal_Focusが全グループ最高（0.201・0.277）かつAvg_Stepが最小（27.56・31.96）であり、PC1の極端な負方向配置の根拠となっている。
BrucknerはPC2 +1.504と全グループ最高で、Spatial_Dispersion（0.335）の高さとHarmonic_Coverage（0.707）の低さの組み合わせがPC2負荷構造と整合する。SibeliusはPC2 −1.977と最低で、Harmonic_Coverage（0.808）の高さとSpatial_Dispersion（0.224）の低さが対応する。この両グループの対称的配置は全体分析のPC2が「五度圏上の空間的分散様式」を弁別する軸として機能していることの具体的な根拠となる。
ShostakovichはAvg_Step（68.75）が全グループ最大である一方、Harmonic_Coverage（0.462）は最低値であり、高頻度の跳躍と音高被覆の狭さの共存という特異な指標プロファイルを示す。BrahmsはPC1・PC2ともに原点近傍（各−0.054・−0.085）に収束し、突出した極性を示さない。
4.4 比較分析におけるMahlerの位置づけ
比較分析においてMahler 11作品・12楽章は他の作曲家グループのほぼ中央に位置する。PC1上の年代的配置は単独分析の結果と対応して保存されており、全体尺度においても調性的求心力の漸進的減退という縦断的傾向が確認できる。
一方PC2については、Mahler単独分析で有意であったHarmonic_CoverageとTexture_Volatilityの対比（山型の推移）が、全体比較の尺度ではBruckner（上方・Spatial_Dispersion優位）とSibelius（下方・Harmonic_Coverage優位）に挟まれる形でMahlerの変動幅が相対的に圧縮されて見える。これはMahler内部での第二変動軸と作曲家間の第二弁別軸とが異なる次元を捉えていることの、スコア分布上の反映でもある。
4.5 軸の解釈
PC1（Mahler単独52.2% / 全体45.5%）は両分析を通じて「調性中心への凝集——拡散」軸として一貫して解釈できる。Mahler内部ではこの軸が作曲年代と高く対応することが確認され、調性の求心力の漸進的減退の量的裏付けとなる。全体比較ではHaydn・Mozartが負方向極、Mahler Sym. 10・Shostakovichが正方向極を占め、後期ロマン派から20世紀初頭にかけての調性崩壊の方向性を一軸上に配置する。
PC2は両分析で異なる軸を捉えている。Mahler単独分析（寄与率19.5%）ではHarmonic_Coverage（+0.984）とTexture_Volatility（−0.758）を主要負荷とし、「音高的充填度とテクスチュア安定性の対比」軸として機能する。これはMahlerの様式的発展において初期・後期の疎な音高被覆・不安定なテクスチュアと、中期および声楽付き作品の豊かな音高被覆・安定したテクスチュアとを対比する内部的な変容パターンを捉えている。全体比較分析（寄与率24.0%）ではSpatial_Dispersion（+0.778）とHarmonic_Coverage（−0.732）を主要負荷とし、Bruckner的な「広域分散様式」とSibelius的な「高密度被覆様式」を両極とする「調性運動の空間的様態」軸として機能する。
この二つのPC2を「交響曲的主体」の概念に接続するならば、前者はMahler内部における主体の「充填——空洞化」の軸、後者は作曲家間における主体の「持続的推進（Sibelius）——断続的広域変容（Bruckner）」の対比軸として読み替えることができる。ただしこれらは指標から直接導かれる記述ではなく、様式論的な補助的解釈として位置づける。
付記：方法論上の留意点
本分析の主な制約として以下を挙げる。
第一に、MIDIデータの品質依存性である。使用したMIDIファイルについては、同一作品の複数ファイルが入手可能な場合には相互比較を行い、信頼性の高いと判断されるものを選択した。ピッチクラス分析の観点からは、声楽パートと器楽パートは同一の処理で扱われるため、声楽付き楽章（Sym. 8-I・大地の歌-I）であっても方法論上の特別な問題は生じない。ただし、MIDIの書き起こし精度そのものはファイルによって異なりうるため、この点は残存する不確実性として認識しておく必要がある。
第二に、ShostakovichはN=2であり、グループとしての統計的安定性は他の作曲家と比較して低い。比較分析における同グループの配置は参考値として扱うことが適切である。
［謝辞］本分析は、加藤隆太郎さんが作成したMIDI版マーラー交響曲全集（第1～第9交響曲＋「大地の歌」）に基づき実施しました。（第10交響曲クック版については海外サイトで公開されているデータを用いています。）加藤さんのデータは本分析のようなデータ分析の観点からは信頼性が高く、大きな価値を有するもので、信頼できる同一作者によるデータをほとんどの作品で利用できることの意義は測り知れません。残念ながらMIDIデータを公開していたサイトは既に閉鎖されておりますが、この場で御礼を申し上げるとともに、海外でも先例のない、MIDI版マーラー交響曲全集が日本人の手によって完成されていることをこの場を借りて顕彰させて頂くものです。
0 件のコメント:
コメントを投稿