0. 序論
0.1 本稿の位置づけ
本稿は、五度圏上のピッチクラスセット重心軌道分析における既存9指標体系（Avg_r, Avg_Step, SD_r, Step_Rate_100, PC_Density, Tonal_Focus, Spatial_Dispersion, Harmonic_Coverage, Texture_Volatility）を前提とし、そこに含まれない方向性・滞留性の情報を捕捉するために新たに開発された16指標の方法論を記述する。
既存9指標の定義・算出手順（五度圏重心の考え方、拍頭サンプリングの設計、PC≥3フィルタの理論的根拠、MIDIデータの信頼性検証、FEP三層構造との対応、9指標の冗長性検証）については、「マーラー全交響曲楽章の五度圏重心軌道の分析」序論・研究手法章にすでに詳述されているため、本稿ではこれを前提として参照し、重複する記述は最小限にとどめる。本稿が対象とするのは、その9指標体系を拡張する形で新たに導入された指標群の開発の経緯・数学的背景・検証手続きである。
0.2 出発点の問い
新指標開発の直接の契機は、マーラー交響曲群の調的重心軌道分析において生じた、次のような具体的な観察であった。すなわち、重心が原点から離れる際に、特定の方向への偏り（例：ドミナント方向への一方向的な集中）があるか、それとも複数方向へ均等に広がっているか、という区別は、それ自体が一つの類型論として成り立つはずである。既存の9指標のうちSpatial_Dispersionはこれに近い概念を扱うが、これは分散共分散行列のトレース（λ1+λ2）に相当する回転不変な「量」の指標であり、構造的に方向情報を持たない。
したがって、この観察は「重心からの距離という軸」と、「特に距離が大きい領域における分布の形（等方的か、特定方向に偏っているか）」を、単一の統計量ではなく分離して捉える指標をどう定式化するか、という課題として定式化された。
以下で見るように、この問いへの応答は単線的な指標追加では終わらず、3段階の探索を経て、当初は予期していなかった「幾何学的原点の数学的特殊性」という副産物的発見へと至った。本稿は、この探索の経緯そのものを含めて記述する。
0.3 コーパス概要
分析対象は8作曲家・55楽章（単一楽章形式の作品を含む）である。
各作品の重心データは、既存9指標体系と共通の基盤データ（MIDIデータから抽出した各小節拍頭のピッチクラスセットを、PC≥3フィルタを適用のうえ単位円上の座標として表現し算術平均を取ったもの）から導出されており、新指標体系はこの共通の一次データに対する異なる要約統計量として位置づけられる。この共通基盤ゆえに、新旧指標体系の整合性は第3章で個別に検証される。
0.4 本稿の構成
第1章では前提となる9指標体系を要約する。第2章では、新指標体系が3段階の探索を経て開発された経緯を、各段階の動機・提案指標・数学的背景とともに記述する。第3章では、新指標体系の妥当性・新規性・限界を検証するための方法論を述べる。付録に指標定義一覧および使用上の制約をまとめる。なお、これらの指標を実際のコーパスに適用して得られた作曲家別・作品別の音楽的知見については、別稿（実質的知見編）に譲る。
1. 前提：9指標体系の要約
既存の9指標は、自由エネルギー原理（FEP）三層構造との対応において以下のように整理される。
Winding_Rate_100（回転方向を考慮した累積移動量）は、サンプリング単位の変更（拍頭→全拍）に対する脆弱性（相関の符号反転を含む）が確認されたため、既に体系から除外されている。9指標体系自体の冗長性については、PCAレベルでの相関構造とクラスタリング安定性への寄与が乖離する事例（SD_r）が確認されており、この知見が第3章で新指標の検証方法を設計する際の重要な先例となる。詳細な検証過程はマーラー報告書研究手法章を参照されたい。
新指標体系が対象とする55楽章フルコーパスについても、9指標のみによる標準化PCAを再計算し、既存パイプラインとの整合性を確認している（第3.1節）。
2. 新指標体系の開発経緯
新指標の開発は時系列に沿って3段階を経ている。各段階は前段階の結果に対する具体的な違和感から生まれており、単純な指標の積み増しではなく、仮説駆動的な反復のプロセスであった。
2.1 第1段階：異方性・方向集中（4指標）
動機：0.2節の問い。Spatial_Dispersionは回転不変量であり、構造的に方向情報を持たない。
提案指標
Anisotropy_Ratio（固有値分解による「形」：λ2/λ1）——Spatial_Dispersionを「量」と「形」に分解する。分布の主軸方向における広がりと、それに直交する方向における広がりの比を取ることで、等方的な拡散（円形の分布）と異方的な拡散（楕円形・一方向への偏った分布）を区別する。
Axis_Angle——分布の主軸（第一固有ベクトル）の方位角。Anisotropy_Ratioが「どれだけ偏っているか」を表すのに対し、Axis_Angleは「どの方向に偏っているか」を表す。
Rbar_full（方向集中度）——各点を単位ベクトル化したうえでの円周統計上の合成ベクトル長（原点に位置する点は除外して計算する）。円形データに対する標準的な集中度指標であり、値が1に近いほど特定方向への強い集中を、0に近いほど全方位への均等な分散を意味する。
Peripheral_Circular_Concentration——上記Rbar_fullを、重心から一定距離以上離れた周辺部の点のみに限定して計算したもの。中心付近の点を除外することで、「調的に離れた領域を訪れる際に、その離れ方に方向的な一貫性があるか」をより純粋に捉える。
これらの指標により、後の検証段階（第3章参照）で、従来のAvg_r・Anisotropy単独では分離しきれなかった複数の「調性希薄化」の様式を区別できることが示唆されている。
2.2 第2段階：アトラクター的発想（9指標）
動機：方向の集中度という連続的な量だけでなく、重心が「どこに滞留するか」という、より離散的・カテゴリカルな問いへの展開。五度圏を離散的な調的領域（12音それぞれを中心とする領域）に区分し、各領域への滞留時間の分布として軌道を再記述する。
提案指標
Dominant_Tonal_Region——最頻出滞留域。
Dominant_Residence_Ratio——最頻出滞留域の占有率。
Second_Tonal_Region——第2の滞留域。
Second_Residence_Ratio——第2の滞留域の占有率。
Peak_Ratio_1st_2nd——第1・第2滞留域の強度比。値が1に近いほど二極間の拮抗（例：I–V往復のようなウルザッツ的構造）を、大きいほど一極への圧倒的集中を意味する。
Residence_Entropy——滞留域分布全体のシャノンエントロピー。特定の少数領域への集中度を、二極間の比較にとどまらず分布全体として定量化する。
Attractor_Number——有意な滞留域（アトラクター）とみなせる領域の数。
Return_Probability_Dominant——最頻出滞留域への回帰確率。
Terminal_Center——楽章末尾における重心の位置。楽章がどの調的領域に「着地」して終わるかを、途中経過とは独立に捉える。
これらの指標は、真の多峰性（複数の調的重心が拮抗する構造）と、単に半径方向の分散が大きいだけの状態とを区別することを可能にする。
2.3 第3段階：原点の数学的特殊性の発見と分解能（3指標）
動機：分析を進める過程で、幾何学的原点(0, 0)が単なる「調的に曖昧な状態」ではなく、数学的な特異点であることが判明した。増三和音・減七和音・全音音階・増六和音など、回転対称性を持つピッチクラスセットは、単位円上の座標の算術平均を取ると必然的に原点近傍へ「折りたたまれる」。これは経験則ではなく、数学的に導かれる必然である。
この事実は、後に方法論全体の再定位（レポートII参照）につながる重要な理論的発見でもある。すなわち、五度圏上の重心計算は、ピッチクラスセットに対する離散フーリエ変換（DFT）の第5係数 f5 の絶対値 |f5| の正規化と数学的に等価であり、原点への収束は、ルウィン＝クイン転置対称定理（12と5が互いに素であることに由来する）から必然的に導かれる、非自明な回転対称性の数学的不変量である。つまり原点収束は測定上の欠陥ではなく、「属レベル」の対称性情報として、それ自体が意味を持つ。
対応：原点着地イベントを構成音数（カーディナリティ）別に分解する枠組みを実装し、以下の指標を導入した。
Origin_PCSet_Ratio——原点（および原点近傍）に着地する小節の比率。
Exact_Triadic_Ratio——厳密に三和音に一致する小節の比率。三和音は五度圏上で対称性を持たないため原点には着地しないが、「原点に着地しない=三和音的」ではないため、両者を独立に測定する必要がある。
Origin_Collapse_Index = Origin_PCSet_Ratio × (1 − Exact_Triadic_Ratio)——原点着地のうち、非三和音的な対称集合に由来する比率を強調する複合指標。
加えて、原点内部で最頻出する具体的なピッチクラスセット（例：特定の減七和音、全音音階六音集合）を同定する、原点着地イベントの内部分解を行う（これは独立した指標というよりも、上記指標を解釈するための補助的な分解手続きである）。
方法論的限界：カーディナリティ4（減七和音等）・6（全音音階等）・8では、複数の異なる集合類が同一の原点座標に収束しうるため、原点着地という事実だけでは対称性の種類を一意に特定できず、内部のピッチクラスセット分解による追加検証が必須となる（カーディナリティ2, 3, 5, 7, 9, 10, 12では、カーディナリティ層別化のみで判別可能）。また6声部以上の組み合わせでは、丸め誤差により原点以外の座標でも異なる集合が偶然衝突しうることが確認されており、この点は方法論的限界として明記する。
3. 新指標体系の検証方法論
3段階を経て提案された16指標を、55楽章フルコーパスに一括して適用する前に、その妥当性・新規性・限界を確認するため、以下の検証手続きを設計した。
3.1 整合性確認の手続き
新指標体系の算出パイプラインが、既存9指標体系と同一の一次データ（小節ごとの重心座標）から正しく分岐していることを確認する。具体的には、両パイプラインに共通する基底指標（Avg_r, SD_rなど）が完全に一致すること（浮動小数点誤差レベルの差のみであること）、および独自に再計算したPC1/PC2が既存のPCAスコアとスコア相関1.0で一致することを、コーパス全体について確認する。
3.2 段階別新規性の測定手続き
各新指標が、既存のPC1・PC2（9指標体系のPCA平面）に対してどの程度独立な情報を持つかを評価するため、各新指標を旧PC1・PC2平面に線形回帰し、その残差（説明されない分散、1−R²）を新規性の指標として定量化する。この残差が大きいほど、当該指標が旧2軸では捕捉できない情報を持つことを意味する。この手続きは段階（第1〜第3段階）を横断して適用し、時系列的な提案順序と実際の新規性の大小が一致するとは限らないという可能性をあらかじめ考慮に入れる。
3.3 概念的独立性と経験的相関の区別という視座
上記の残差分析で、ある新指標が旧軸と強い相関を示した場合であっても、それは「その指標が測定する概念そのものが旧指標と同一である」ことを意味しない、という区別を方法論上の前提として採用する。たとえば方向集中度（Rbar_full）と調的集中度（Tonal_Focus）は、数学的には独立に振る舞いうる量である（半径方向に凝集しつつ全方位に均等に散らばる、あるいはその逆の組み合わせも原理上ありうる）。したがって、経験的に強い相関が観察されたこと自体が、両者が概念上偶然一致しているのではなく実質的な音楽的規則性を反映している可能性がある、という解釈上の余地を残す形で報告する。
3.4 統合PCAの手続き
第1〜3段階を通じて開発された新指標群は、合計16指標に及ぶ。ただし、これら16指標のすべてを最終的な統合指標として無条件に採用するという意味ではなく、方向性・滞留構造・原点内部のピッチクラスセット構造という異なる観点から、五度圏重心軌道に含まれる情報を探索的に記述するために開発された指標群である点に留意する必要がある。
したがって、本研究では「開発された指標」と「統合的な多変量分析に用いる代表指標」を区別する。前者については、第1〜3段階の探索過程および個別検証において、その定義と音楽的意味を検討する。一方、統合PCAでは、相互に強く冗長な指標を整理し、各情報層を代表すると考えられる指標を選択して分析する。
この区別は、指標数を増やすこと自体を研究上の目的としないためにも重要である。本研究における指標開発の目的は、単純に変数の数を増やすことではなく、既存の9指標では十分に記述できなかった軌道の幾何学的・時間的・集合論的構造を、必要な解像度で記述することにある。
以上を踏まえ、9指標＋新16指標を統合した空間で改めてPCAを実行し、新指標群が旧2軸（PC1・PC2）とは独立な新たな主成分（PC3以降）を形成するかどうかを確認する。この統合PCAの構造（各指標の負荷量、寄与率）は、3.2節の個別残差分析を主成分空間全体の観点から裏付ける、独立した検証として位置づける。
3.4.1 第1・2段階と第3段階の方法論的位置づけ
以上の検証手続きから得られる結果を踏まえると、新指標の「新規性」については、単純に旧指標との相関の強さ・弱さだけで判断すべきではないことがあらかじめ想定される。
第1段階の異方性・方向集中指標は、旧指標と経験的に強く相関する可能性がある。しかし、これは方向集中という概念が旧指標と同一であることを意味しない。むしろ、既存の凝集性・分散性の記述を、方向および空間形状という別の幾何学的解像度から記述し直したものと理解すべきである。
第2段階の滞留・アトラクター指標についても同様である。Residence_EntropyやAttractor_Numberは旧指標と完全に独立した新軸を形成するとは限らないが、半径方向の変動だけでは区別できない複数の滞留域や多峰的構造を直接記述することができる。この意味で、第2段階は旧体系が圧縮していた時間的・離散的構造の解像度を高める役割を持つ。
これに対して第3段階のOrigin_PCSet_Ratioは、旧PC1・PC2から説明される割合が小さく、統合PCAにおいても独立した情報軸を形成する可能性が、2.3節で述べた数学的背景（原点収束の非自明性）からも予想される。したがって、第1・2段階と第3段階には、方法論的な性質の違いがあらかじめ想定される。
要約すれば、次のような関係が見込まれる。
第1段階：既存の空間分布を「形・方向」の次元から高解像度化する
第2段階：既存の軌道分布を「滞留・多峰性」の次元から高解像度化する
第3段階：重心への写像によって圧縮されたピッチクラスセットレベルの情報を再導入する
したがって、本研究における「新規性」は、第1〜2段階では主として分析解像度の向上として、第3段階では情報層そのものの追加として現れることが方法論上の作業仮説となる。この作業仮説の当否は、3.1〜3.4節の検証手続きをコーパス全体に適用した結果によって判断されるべきものであり、その具体的な数値結果は実質的知見編で扱う。
3.5 離散フーリエ変換係数との理論的接続
2.3節で見た通り、第3段階（Origin_PCSet_Ratio）は、標準的なピッチクラスセットDFTの第5係数の絶対値 |f5| の消失（≈0）を事後的・閾値的に検出し、原点近傍に着地したピッチクラスセットを個別に集計するという方式を取っている。この方式は、原点への着地を「する／しない」という離散的な事象として扱うため、閾値の設定に依存するという限界を持つ。
この限界を克服する方向性として、各小節について |f2|, |f3|, |f4|, |f6| を直接連続値として計算し、体系に組み込む拡張が考えられる。この拡張により、「原点近傍」という閾値依存的な判定を経由せず、対称性の種類とその強さを最初から連続量として測定できるようになる。この理論的な一般化——五度圏重心分析をピッチクラスセットDFTの特殊ケース（f5空間）として位置づけ直し、他の係数空間（f1, f2, f3, f4, f6）へ分析を拡張する方法論——については、レポートII（ピッチクラスセットのDFTに基づく調的組織の軌道力学分析）で改めて詳述する。
3.5.1 レポートIIへの接続——五度圏分析からFourier空間分析へ
以上の検討によって、本章で扱ってきた原点収束の問題は、単なる五度圏重心法固有の例外処理ではなく、ピッチクラスセットの周期的構造を記述するFourier空間の一般的性質として位置づけられることが明らかになった。
同時に、この結果は第3段階の方法論的意味を変える。Origin_PCSet_Ratioによる原点内部の分解は、五度圏重心法の「歪み」を補正するための後処理ではなく、五度圏重心が捉えている情報と、それによって失われるピッチクラスセットレベルの情報を区別するための解像度向上であった。そして、原点への収束が標準DFTにおける|f5|の消失として理解できるならば、同じ考え方をf5以外のFourier係数にも適用できる可能性が生じる。
ここで分析の問題は、「五度圏上でどのように重心が運動するか」から、「ピッチクラスセットが異なるFourier空間においてどのような軌道を形成するか」へと一般化される。すなわち、五度圏重心分析は、より一般的なピッチクラスセットFourier空間上の軌道力学分析の一つの特殊ケースとして再定位することができる。この一般化の理論的構造については、次のレポートIIで扱う。
3.6 使用上の制約・注意事項
各作品の名目主調（作品標題等から得られる調性）と、実測される重心の方位角（Home_Angle）との乖離を検証する際は、乖離の大きさをそのまま解釈するのではなく、その作品のRbar_full値（方向集中度）が十分に高く、方位角の推定自体が安定しているかを併せて確認する必要がある（Rbar_fullが低い場合、Home_Angleの推定は不安定であり、乖離の大きさに音楽的意味を読み込むことができない）。
n=2（ショスタコーヴィチ）、n=4（ブラームス、モーツァルト）の作曲家群については、他の作曲家（n=8〜11）と並列した統計的解釈には注意を要する。
名目主調の理論的期待角度は、長調=根音角度−45°、短調=根音角度+15°として、主和音3音の単位ベクトル和から幾何学的に導出している。
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