MIDIファイルを入力とした分析：長短三和音の交替から見たマーラーの交響曲 2.作品間の比較（楽章単位）

1.分析の概要

1.1．分析対象の作品

従来の分析同様、マーラーの交響曲全曲（第1交響曲～第10交響曲および「大地の歌」）を対象とした。なお、第10交響曲はクックによる5楽章版を対象とした。

1.2.分析対象の特徴量と分析環境・手法

　作品を構成する楽章・曲単位に作成されたMIDIファイル毎に、各拍において長三和音、短三和音の出現状況に注目して、以下の特徴量を集計した。出現頻度については、長三和音・短三和音の出現回数、長三和音⇔短三和音の交替頻度のいずれについても曲の長さ（拍数）の違いを吸収するために出現回数を総拍数で割って単位拍数あたりの割合(それぞれmaj, min, mod)とし、更に交替頻度については長短三和音の出現回数(maj+min)で割った割の合(以下のmod_frq)も計算した。また、曲頭において先に出現するのは長三和音・短三和音のどちらか(in)および曲尾において後に出現するのは長三和音・短三和音のどちらか(out)の判定も行った。従って特徴量は以下の6種類となる。

• 長三和音の出現頻度(maj)：単位拍数あたりの割合
• 短三和音の出現頻度(min)：単位拍数あたりの割合
• 長三和音⇔短三和音の交替頻度1(mod)：単位拍数あたりの割合
• 長三和音⇔短三和音の交替頻度2(mod_frq)：長短三和音の出現回数(maj+min)あたりの割合
• 曲頭において先に出現するのは長三和音(1)・短三和音(-1)のどちらか(in)
• 曲尾において後に出現するのは長三和音(1)・短三和音(-1)のどちらか(out)

これらの特徴量について、対象となるファイル毎（楽章毎に相当）に計算した結果を分析対象とした。

1.3.分析手法と分析環境　

　分析方法および分析環境についても従来の分析を引き継ぎ、R言語（version 4.1.0 (2021-05-18版）を用いて以下の分析を行い、履歴を保存した。

A.非階層クラスタリング：kmeansを使用。

• 　　結果のグラフ表示には、clusterライブラリのclusplotを使用。　　

B.階層クラスタリング：hclustを使用。

• 　　complete法, average法, ward法の3種類を使用。

C.主成分分析：prcompを使用。

• 　　特徴ベクトルの要素間のスケールに違いがあるため、scale=T。
• 　　説明率90%を目安として負荷と主成分得点を計算。
• 　　結果のグラフ表示には、ggbiplotライブラリのggbiplotを使用。
• 　　負荷と主成分得点はbarplotでグラフ化。

1.4.アーカイブファイルの内容

アーカイブファイル長短交替_作品間比較_楽章単位.zip中には以下のファイルが含まれる。

分析条件・履歴

• 入力ファイル：gm_sym_sheet12.csv
• 色指定ファイル：gm_sym_sheet12_col.csv
• ラベルファイル：gm_sym_sheet12_label.csv
• 履歴：hist.txt

階層クラスタ分析

• hclust_complete.pdf：complete法でのクラスタリング結果のデンドログラム
• hclust_average.pdf：average法でのクラスタリング結果のデンドログラム
• hclust_ward.D2.pdf：ward法でのクラスタリング結果のデンドログラム

非階層クラスタ分析（kmeans法、クラスタ数=4）

• kmeans4.pdf：分類結果の主成分平面へのプロット
• kmeans4.csv：分類結果の出力

主成分分析

• prcomp_T.pdf：主成分分析(scale=T)の結果
• ggbiplot12.pdf：第1・第2主成分空間へのグループ表示つきプロット
• ggbiplot23.pdf：第2・第3主成分空間へのグループ表示つきプロット
• ggbiplot34.pdf：第3・第4主成分空間へのグループ表示つきプロット
• pr_score-1.pdf：第1主成分得点
• pr_score-2.pdf：第2主成分得点
• pr_score-3.pdf：第3主成分得点
• pr_score-4.pdf：第4主成分得点
• prcomp_PC1.pdf：第1主成分負荷
• prcomp_PC2.pdf：第2主成分負荷
• prcomp_PC3.pdf：第3主成分負荷
• prcomp_PC4.pdf：第4主成分負荷

2.分析結果

2.1.階層クラスタ分析
(a)complete法

(b)average法

(c)ward法

2.2.非階層クラスタ分析(k-means法, クラスタ数=4)

       1 2 3 4

  I    2 1 1 0

  II   2 2 1 0

  III  1 1 4 0

  IV   2 0 1 1

  IX   1 0 2 1

  LE   2 1 3 0

  V    1 0 3 1

  VI   0 1 1 2

  VII  3 1 1 0

  VIII 1 0 1 0

  X    3 1 1 0

erde_1_B erde_2_B erde_3_B erde_4_B erde_5_B erde_6_B   m1_1_B   m1_2_B 

       2        1        3        3        3        1        1        3 

  m1_3_B   m1_4_B   m2_1_B   m2_2_B   m2_3_B   m2_4_B   m2_5_B   m3_1_B 

       2        1        2        3        2        1        1        3 

  m3_2_B   m3_3_B   m3_4_B   m3_5_B   m3_6_B   m4_1_B   m4_2_B   m4_3_B 

       3        2        1        3        3        1        1        3 

  m4_4_B   m5_1_B   m5_2_B   m5_3_B   m5_4_B   m5_5_B   m6_1_B   m6_2_B 

       4        4        1        3        3        3        4        2 

  m6_3_B   m6_4_B   m7_1_B   m7_2_B   m7_3_B   m7_4_B   m7_5_B   m8_1_B 

       3        4        1        2        1        3        1        3 

  m8_2_B   m9_1_B   m9_2_B   m9_3_B   m9_4_B   m101_B   m102_B   m103_B 

       1        1        3        4        3        3        1        1 

  m104_B   m105_B 

       2        1  

2.3.主成分分析

scale=Tでのprcompのsummaryは以下の通り

Importance of components:

                                  PC1      PC2     PC3    PC4     

Standard deviation       1.4708 1.2027 1.0966 0.8514

Proportion of Variance  0.3605 0.2411 0.2004 0.1208 

Cumulative Proportion  0.3605 0.6016 0.8021 0.9229

第4主成分(PC4)までで累積寄与率が90%を超えるので、第1主成分から第4主成分まで(PC1～PC4)のプロット、主成分得点・負荷を以下に示す。

(A-1)第1・第2主成分平面でのプロット

(A-2)第2・第3主成分平面でのプロット

(A-3)第3・第4主成分平面でのプロット

(B-1)第1主成分得点・負荷

(B-2)第2主成分得点・負荷

(B-3)第3主成分得点・負荷

(B-4)第4主成分得点・負荷

[ご利用にあたっての注意] 公開するデータは自由に利用頂いて構いません。あくまでも実験的な試みを公開するものであり、作成者は結果の正しさは保証しません。このデータを用いることによって発生する如何なるトラブルに対しても、作成者は責任を負いません。入力として利用させて頂いたMIDIファイルに起因する間違い、分析プログラムの不具合に起因する間違いなど、各種の間違いが含まれる可能性があることをご了承の上、ご利用ください。  

（2021.12.17公開）