MIDIファイルを入力とした分析：マルコフ過程としてのエントロピー計算結果（続）各小節頭拍の場合

  1.はじめに

　前の記事MIDIファイルを入力とした分析：マルコフ過程としてのエントロピー計算結果では、以下の条件で抽出した和音の系列に対し、マルコフ過程と見做した場合のエントロピーの計算結果を報告しました。

• 各拍(A)/単音・重音は対象外(cdnz3)/移置を区別・転回は長短三和音のみ区別(tonic)
• 各拍(A)/単音・重音を含む(cdnz)/移置を区別・転回は長短三和音のみ区別(tonic)
• （比較対照用）各拍(A)/単音・重音は対象外(cdnz3)/移置・転回を区別せず(pcl)

　ここでは、前回の結果との比較対照を目的として、各小節頭拍(B)について同じ条件でデータを抽出してエントロピーの計算を行った結果を報告します。

　なお、本稿についても前回同様、分析結果を報告・公開することを優先させ、結果についての考察は今後の課題とさせて頂きますが、結果について一言だけ言えば、(B)各小節頭拍の場合と(A)各拍の場合とで、全体的な傾向として違いがないことが確認できた一方で、マルコフ過程として見た場合のエントロピ―の計算結果については、個別には平均的な傾向から乖離した場合が確認されました（第10交響曲で各小節頭拍(B)/単音・重音を含む(cdnz)/移置を区別・転回は長短三和音のみ区別(tonic)の場合）が、これが偶然なのか、何らかの意味のある特徴を表すものであるかについては調査・検討が必要と考えます。また、二重マルコフ過程としてみた場合の計算結果が「移置を区別・転回は長短三和音のみ区別(tonic)」の条件では、一部を除いて全て0になるなど、特定の個別の音楽作品（ここではマーラーの交響曲）のようなウニカートな対象をマルコフ過程であると見做すことの妥当性が問題になっているように思われます。（直感的にはエルゴード性が成り立っているとは考えられないので、定常分布を前提とするマルコフ過程のエントロピーを適用するのことにそもそも無理があるように思えます。）とはいえそうした考察は措いて、まずは計算結果を示すことで検討の材料を提供することに意味があると考え、分析結果を報告・公開することにしました。

2.分析条件

　1.はじめに に記載の通り以下の条件でデータの抽出・エントロピーの計算を行いました。吸収的状態を含み状態遷移マトリクスが作れないケースについてはエントロピー０とはせず、吸収的状態を除去して計算しなおしました（後述する公開データではどの作品が計算しなおしの対象となったかがわかるようにしてあります）。一方で吸収的状態を含まないにも関わらず、定常状態で幾つかの状態に収束する結果となったものについてはそのまま、エントロピー0としています。それぞれについて、単純マルコフ過程とした場合と二重マルコフ過程とした場合について計算しましたが、移置を区別・転回は長短三和音のみ区別(tonic)した条件では、ほとんどの場合にエントロピーが0となったため、公開したデータ中には含めましたが、以下の記事中でのグラフ表示では割愛しています。

• 各小節頭拍(B)/単音・重音は対象外(cdnz3)/移置を区別・転回は長短三和音のみ区別(tonic)
• 各小節頭拍(B)/単音・重音を含む(cdnz)/移置を区別・転回は長短三和音のみ区別(tonic)
• 各小節頭拍(B)/単音・重音は対象外(cdnz3)/移置・転回を区別せず(pcl)

　また分析対象の作品については、今回はマーラーの交響曲11曲に限定しました。

3.分析結果

　以下、それぞれについて今回計算した各小節頭拍(B)の結果と、前回計算した各拍(A)の結果を対比して示します。

(1)マルコフ過程として見た場合のエントロピー

• 単音・重音を除き移置・転回を区別せず・単純マルコフ過程（markov3_pcl1）
• 単音・重音を除き移置・転回を区別せず・二重マルコフ過程（markov3_pcl2）
• 単音・重音を除き移置・転回（長短三和音のみ）を区別・単純マルコフ過程（markov3_tonic1）
• 単音・重音を含み移置・転回（長短三和音のみ）を区別・単純マルコフ過程（markov_tonic1)

（B）各小節頭拍

（A)各拍

　なお、(B)各小節頭拍の第4交響曲(m4)の単音・重音を除き移置・転回を区別せず・二重マルコフ過程(markov3_pcl2)での計算結果は、吸収的状態を含むわけではないのですが、定常状態の計算結果が、2つの状態にそれぞれ確率0.5で収束するためエントロピーは0となっています。

(2)パターン出現頻度のエントロピー

• 単音・重音を除き移置・転回（長短三和音のみ）を区別（markov3_tonic）

(B)各小節頭拍（深さ0～4）

(A)各拍（深さ0～4）

• 単音・重音を含み移置・転回（長短三和音のみ）を区別（markov_tonic)

(B)各小節頭拍（深さ0～4）

(A)各拍（深さ0～4）

• 各小節頭拍(B)/単音・重音は対象外(cdnz3)/移置・転回を区別せず(pcl)

(B)各小節頭拍（深さ0～5）

(A)各拍（深さ0～5）

(参考1)各系列のパターンと系列長の比率の抽出条件別比較

• 単音・重音を除き移置・転回（長短三和音のみ）を区別（markov3_tonic）

(B)各小節頭拍（深さ0～4）

(A)各拍（深さ0～4）

• 単音・重音を含み移置・転回（長短三和音のみ）を区別（markov_tonic)

(B)各小節頭拍（深さ0～4）

(A)各拍（深さ0～4）

• 各小節頭拍(B)/単音・重音は対象外(cdnz3)/移置・転回を区別せず(pcl)

(B)各小節頭拍（深さ0～5）

(A)各拍（深さ0～5）

(参考2)各系列のパターンと系列長の比率の深さ別比較（深さ0～4）

• 深さ0

(B)各小節頭拍

(A)各拍

• 深さ1

(B)各小節頭拍

(A)各拍

• 深さ2

(B)各小節頭拍

(A)各拍

• 深さ3

(B)各小節頭拍

(A)各拍

• 深さ4

(B)各小節頭拍

(A)各拍

[付録] 公開データの内容

和音状態遷移_マルコフ過程_エントロピー_マーラー交響曲_小節頭拍毎.zip には以下のファイルが含まれます。

(A)入力データ

サブフォルダ cdnz_tonic_transition

• *_B_cdnz_tonic.csv：各小節頭拍(B)/単音・重音を含む(cdnz)/移置・転回（長短三和音のみ）を区別する(tonic)条件の和音パターン系列を単純マルコフ過程として見た場合の状態遷移マトリクス

サブフォルダ cdnz_tonic_transition2

• *_B_cdnz_tonic.csv：各小節頭拍(B)/単音・重音を含む(cdnz)/移置・転回（長短三和音のみ）を区別する(tonic)条件の和音パターン系列を二重マルコフ過程として見た場合の状態遷移マトリクス

サブフォルダ cdnz_tonic_frq

• *_B_frq_tonic.csv：各小節頭拍(B)/単音・重音を含む(cdnz)/移置・転回（長短三和音のみ）を区別する(tonic)条件の和音パターン系列に出現する和音パターンの出現頻度の集計結果

サブフォルダ cdnz3_tonic_transition　

• *_B_cdnz3_tonic.csv：各小節頭拍(B)/単音・重音を含まず(cdnz3)/移置・転回（長短三和音のみ）を区別する(tonic)条件の和音パターン系列を単純マルコフ過程として見た場合の状態遷移マトリクス

サブフォルダ cdnz3_tonic_transition2　

• *_B_cdnz3_tonic.csv：各小節頭拍(B)/単音・重音を含まず(cdnz3)/移置・転回（長短三和音のみ）を区別する(tonic)条件の和音パターン系列を二重マルコフ過程として見た場合の状態遷移マトリクス

サブフォルダ cdnz3_tonic_frq

• *_B_frq3_tonic.csv：各小節頭拍(B)/単音・重音を含まず(cdnz3)/移置・転回（長短三和音のみ）を区別する(tonic)条件の和音パターン系列に出現する和音パターンの出現頻度の集計結果

サブフォルダ cdnz3_pcls_transition

• *_B_cdnz_tonic.csv：各小節頭拍(B)/単音・重音を含まず(cdnz3/移置・転回を区別しない(pcl)条件の和音パターン系列を単純マルコフ過程として見た場合の状態遷移マトリクス

サブフォルダ cdnz3_pcls_transition2

• *_B_cdnz3_pcl2.csv：各小節頭拍(B)/単音・重音を含まず(cdnz3/移置・転回を区別しない(pcl)条件の和音パターン系列を二重マルコフ過程として見た場合の状態遷移マトリクス

サブフォルダ cdnz3_pcl_frq

• *_B_frq_tonic.csv：各小節頭拍(B)/単音・重音を含まず(cdnz3/移置・転回を区別しない(pcl)条件の和音パターン系列をに出現する和音パターンの出現頻度の集計結果

(B)出力データ

サブフォルダ entropy

• entropy_B_tonic.xlsx：マルコフ過程として見た場合の状態遷移マトリクスに基づくエントロピー計算結果

サブフォルダ ratio

• ratio_tonic_B.xlsx：和音パターンの出現頻度の集計結果に基づくパターンと系列長の比率の集計結果

（2023.10.26公開）

[ご利用にあたっての注意] 公開するデータは自由に利用頂いて構いません。あくまでも実験的な試みを公開するものであり、作成者は結果の正しさは保証しません。このデータを用いることによって発生する如何なるトラブルに対しても、作成者は責任を負いません。入力として利用させて頂いたMIDIファイルに起因する間違い、分析プログラムの不具合に起因する間違いなど、各種の間違いが含まれる可能性があることをご了承の上、ご利用ください。